最大團問題

摘要： 最大團 給定無向圖G=(V,E)，其中V是非空集合，稱為頂點集；E是V中元素構成的無序二元組的集合，稱為邊集，無向圖中的邊均是定點的無序對，無序對常用圓括號“()”表示。 普及幾個概念： 無向圖：邊沒有方向。如果點A和B之間有一條邊，那麼既可以從A到B，也可以從B到A ...

最大團

給定無向圖G=(V,E)，其中V是非空集合，稱為頂點集；E是V中元素構成的無序二元組的集合，稱為邊集，無向圖中的邊均是定點的無序對，無序對常用圓括號“()”表示。

普及幾個概念：

• 無向圖：邊沒有方向。如果點A和B之間有一條邊，那麼既可以從A到B，也可以從B到A
• 完全圖：任意兩點之間都有邊相連。假設一個圖有$n$個點，那麼就應該有$\frac{n\times(n-1)}{2}$條邊
• 子圖：選取原圖中的部分結點，以及與該點相連的所有邊，構建出的新圖

瞭解上面幾個概念以後，給出最大團的定義： 在一個無向圖中找出一個點數最多的完全子圖

DFS求最大團

假設現在有這麼一個圖，我們用肉眼看一下就知道他的最大團數是3，(1,2,5)，(1,4,5)，(2,3,5)都是最大團

這樣列舉的話時間複雜度是$O(2^n)$，考慮能不能剪枝，答案當然是可以的

首先思考一下，什麼情況下，列舉到的這個結點可以選？假設DFS執行下來我已經選了1和2，那麼3選還是不選？肯定不選，因為如果選了就無法與1和2構成完全圖

假設我在搜尋過程中已經得到了一個解bestn，如果剩下的所有點加上我當前已選的點，都不夠超過bestn，那我就沒必要往後枚舉了。這個說起來可能比較抽象，舉個例子，一共5個點，bestn已經更新成了3，當前樹的路徑是{1,0}（對應的選擇就是1選，2不選），假設現在列舉3不選，那麼還剩下兩個點4,5，不管4,5能不能與我當前的團構成完全圖，我就假設4，5都選上，那麼我最大團的結點數為3，根本沒有超過bestn，都無法得到更好的答案，我幹嘛要列舉呢，所以3不選的這棵子樹直接砍了

程式碼

import java.util.Scanner;

public class Main {
static int[][] map;//鄰接矩陣儲存圖
static int[] book;//記錄每個點選還是不選
static int bestn = Integer.MIN_VALUE;
static int n,m;//n個點，m條邊
public static void main(String[] args) {
Scanner cin = new Scanner(System.in);
n = cin.nextInt();
m = cin.nextInt();
map = new int[n + 1][n + 1];
book = new int[n + 1];
for(int i = 0;i < m;i++) {
int a = cin.nextInt();
int b = cin.nextInt();
map[a][b] = 1;
map[b][a] = 1;
}
dfs(1,0);
System.out.println(bestn);
}
static void dfs(int idx,int num) {//第idx個點，當前選了num個點
if(idx == n + 1) {
bestn = Math.max(bestn,num);
return;
}
for(int i = 0;i < 2;i++) {//二叉樹
if(i == 0) {//不選
if(num + n - idx > bestn) 
dfs(idx + 1,num);
} else { //選
if(check(idx)) {
book[idx] = 1;
dfs(idx + 1,num + 1);
book[idx] = 0;
}
}
}
}
static boolean check(int idx) {
for(int i = 1;i < idx;i++) 
if(book[i] == 1 && map[i][idx] != 1)
return false;
return true;
}
}
/*
輸入：
5 7
1 2
2 3
5 3
4 5
1 4
1 5
2 5
輸出：
3
*/

ofollow,noindex" target="_blank">HDU1530

題意：給定N個點的無向圖，讓你求最大團

Java tle了，不知道為什麼

import java.util.Scanner;

public class Main {
static int[][] map;
static int[] book;
static int bestn;
static int n;

public static void main(String[] args) {
Scanner cin = new Scanner(System.in);
while (true) {
bestn = Integer.MIN_VALUE;
n = cin.nextInt();
if(n == 0)
break;
map = new int[n + 1][n + 1];
book = new int[n + 1];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
int flag = cin.nextInt();
map[i][j] = flag;
}
}
dfs(1, 0);
System.out.println(bestn);
}
}

static void dfs(int idx, int num) {
if (idx == n + 1) {
bestn = Math.max(bestn, num);
return;
}
for (int i = 0; i < 2; i++) {
if (i == 0) {
if (num + n - idx > bestn)
dfs(idx + 1, num);
} else { 
if (check(idx)) {
book[idx] = 1;
dfs(idx + 1, num + 1);
book[idx] = 0;
}
}
}
}

static boolean check(int idx) {
for (int i = 1; i < idx; i++)
if (book[i] == 1 && map[i][idx] != 1)
return false;
return true;
}
}