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一、堆(Heap)定義

（1）n個關鍵字序列Kl，K2，…，Kn稱為（Heap），當且僅當該序列滿足如下性質（簡稱為堆性質）：

k(i)<=k(2i）且k(i)<=k(2i+1)(1≤i≤ n/2），

當然，這是小根堆，大根堆則換成>=號。

（2）k(i）相當於二叉樹的非葉子結點，K(2i）則是左子節點，k(2i+1）是右子節點

若將此序列所存儲的向量R[1..n]看做是一棵完全二叉樹的存儲結構，則堆實質上是滿足如下性質的完全二叉樹：
樹中任一非葉子結點的關鍵字均不大於（或不小於）其左右孩子（若存在）結點的關鍵字。

二、堆排序的思想

堆排序利用了大根堆（或小根堆）堆頂記錄的關鍵字最大（或最小）這一特征，使得在當前無序區中選取最大（或最小）關鍵字的記錄變得簡單。 （1）用大根堆排序的基本思想 ① 先將初始文件R[1..n]建成一個大根堆，此堆為初始的無序區 ② 再將關鍵字最大的記錄R[1]（即堆頂）和無序區的最後一個記錄R[n]交換，由此得到新的無序區R[1..n-1]和有序區R[n]，且滿足R[1..n-1].keys≤R[n].key ③由於交換後新的根R[1]可能違反堆性質，故應將當前無序區R[1..n-1]調整為堆。然後再次將R[1..n-1]中關鍵字最大的記錄R[1]和該區間的最後一個記錄R[n-1]交換，由此得到新的無序區R[1..n-2]和有序區R[n-1..n]，且仍滿足關系R[1..n-2].keys≤R[n-1..n].keys，同樣要將R[1..n-2]調整為堆。 …… 直到無序區只有一個元素為止。

三、算法實現

    /**
     * 堆排序
     * @param data  數據隊列
     */
    public static void heapSort(int[] data) {
        //初始化大堆
        for (int i = data.length / 2 - 1; i >= 0; i--) {
            adjustHeap(data, i, data.length);  //指定父節點堆調整
        }

        int temp;    //臨時空間
        for (int i = data.length - 1; i > 0; i--) {
            
 
//堆首與堆尾交換
            temp = data[i];
            data[i] = data[0];
            data[0] = temp;
            //大堆調整
            adjustHeap(data, 0, i);
        }

    }
    /**
     * 堆調整
     * @param data  數據隊列
     * @param start  起始位置
     * @param end   截止位置，是堆尾的下一個位置
     */
    public static void adjustHeap(int[] data, int start, int end) {
        
        int src=data[start];  //保存起始位置的值
        for (int i = start * 2 + 1; i < end; i *= 2 + 1) {
            //判斷左右節點大小
            if (i < end - 1 && data[i] < data[i + 1]) {
                i++;  //右節點大
            }
            //起始位置值最大
            if(data[start]>data[i])
                break;
            
            data[start]=data[i];//賦值最大值
            start=i; //記錄大值的位置
        }
        data[start]=src;//回填大值位置
    }

四、算法復雜度

堆排序的時間，主要由建立初始堆和反復重建堆這兩部分的時間開銷構成，它們均是通過調用adjustHeap實現的。

平均性能O(N*logN)，由於建初始堆所需的比較次數較多，所以堆排序不適宜於記錄數較少的文件。

堆排序是就地排序，輔助空間為O(1）. 它是不穩定的排序方法。（排序的穩定性是指如果在排序的序列中，存在前後相同的兩個元素的話，排序前 和排序後他們的相對位置不發生變化）

算法三之堆排序