【BZOJ4197】[Noi2015]壽司晚宴 狀壓DP+分解質因數
【BZOJ4197】[Noi2015]壽司晚宴
Description
為了慶祝 NOI 的成功開幕，主辦方為大家準備了一場壽司晚宴。小 G 和小 W 作為參加 NOI 的選手，也被邀請參加了壽司晚宴。
在晚宴上,主辦方為大家提供了 n−1 種不同的壽司，編號 1,2,3,…,n−1，其中第 i 種壽司的美味度為 i+1 （即壽司的美味度為從 2 到 n）。 現在小 G 和小 W 希望每人選一些壽司種類來品嘗，他們規定一種品嘗方案為不和諧的當且僅當：小 G 品嘗的壽司種類中存在一種美味度為 x 的壽司，小 W 品嘗的壽司中存在一種美味度為 y 的壽司，而 x 與 y 不互質。 現在小 G 和小 W 希望統計一共有多少種和諧的品嘗壽司的方案（對給定的正整數 p 取模）。註意一個人可以不吃任何壽司。Input
輸入文件的第 1 行包含 2 個正整數 n,p，中間用單個空格隔開，表示共有 n 種壽司，最終和諧的方案數要對 p 取模。
Output
輸出一行包含 1 個整數，表示所求的方案模 p 的結果。
Sample Input
3 10000Sample Output
9HINT
2≤n≤500
0<p≤1000000000題解：我們考慮每個素數，它要麽在A中，要麽在B中，要麽都不在。我們定義<sqrt(500)（更具體的說是<=19，因為23*29>500）的質數為小質數，其余的為大質數，則2-n中的任意一個數都可以表示成1（或0）個大質數*若幹個小質數。因此我們可以狀壓小質數，枚舉大質數。
用g[0或1][x][y]表示當前的大質數在A或B中，A的小質數狀態為x，B的小質數狀態為y的方案數。我們預處理出對於每個大質數，可以和它搭配的 小質數組 有哪些（其實就是枚舉一個大質數p的所有倍數，將所有倍數都分解質因數）。如果當前這個數要被A選，相當於A既要選這個大質數也要選這個 小質數組 ，並且B既不能選這個大質數也不能選這個 小質數組 中的任一個質數。我們設這個 小質數組 的狀態為S，得到DP方程：
g[0][x|S][y]=g[0][x|S][y]+g[0][x][y]
g[1][x][y|S]=g[1][x][y|S]+g[1][x][y]
我們用f[x][y]統計答案，但是發現存在重復的情況。你可以理解為雖然這個數被A搶走了，使得B不能選這個數，但是A也不想選這個數。或者這個數被B搶走了，但是B也不想選。那麽重復的方案數是多少呢？就是之前的f[x][y]。所以新的f[x][y]=g[0][x][y]+g[1][x][y]-舊的f[x][y]。
同時，對於不包含大質數的數，要特殊處理。對於不同的大質數，用乘法原則統計答案（因為A可以把好多大質數都搶走）；對於不同的小質數選擇方法，用加法原則統計答案（小質數不能既給A又給B）；DP的時候要時刻滿足x&y==0。（以上都是只有本蒟蒻才不明白的地方。）
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int n,mod,ans;
int f[1<<8][1<<8],g[2][1<<8][1<<8];
int p2[510];
int pri[]={2,3,5,7,11,13,17,19};
vector<int> v[510];
int getpri(int x)
{
int i,ret=0;
for(i=0;i<8;i++)
{
if(x%pri[i]==0)
{
ret|=(1<<i);
while(x%pri[i]==0) x/=pri[i];
}
}
v[x].push_back(ret);
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&mod);
int i,j,x,y;
for(i=2;i<=n;i++) getpri(i);
f[0][0]=1;
for(j=0;j<v[1].size();j++)
{
for(x=(1<<8)-1;~x;x--)
{
for(y=(1<<8)-1;~y;y--) if(!(x&y))
{
if(!(y&v[1][j])) f[x|v[1][j]][y]=(f[x|v[1][j]][y]+f[x][y])%mod;
if(!(x&v[1][j])) f[x][y|v[1][j]]=(f[x][y|v[1][j]]+f[x][y])%mod;
}
}
}
for(i=23;i<=n;i++)
{
if(!v[i].size()) continue;
for(x=0;x<(1<<8);x++) for(y=0;y<(1<<8);y++) if(!(x&y)) g[0][x][y]=g[1][x][y]=f[x][y];
for(j=0;j<v[i].size();j++)
{
for(x=(1<<8)-1;~x;x--)
{
for(y=(1<<8)-1;~y;y--) if(!(x&y))
{
if(!(y&v[i][j])) g[0][x|v[i][j]][y]=(g[0][x|v[i][j]][y]+g[0][x][y])%mod;
if(!(x&v[i][j])) g[1][x][y|v[i][j]]=(g[1][x][y|v[i][j]]+g[1][x][y])%mod;
}
}
}
for(x=0;x<(1<<8);x++) for(y=0;y<(1<<8);y++) f[x][y]=((g[0][x][y]+g[1][x][y]-f[x][y])%mod+mod)%mod;
}
for(x=0;x<(1<<8);x++) for(y=0;y<(1<<8);y++) ans=(ans+f[x][y])%mod;
printf("%d",ans);
return 0;
}
【BZOJ4197】[Noi2015]壽司晚宴 狀壓DP+分解質因數