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僅僅用於自己理解，若有共鳴，別太吐槽就行哈~

首先是匈牙利算法的本質：(圖參考了zxy的)

這個圖要詳細看完，那麽剛開始我想的“找小三”實際上就是遞歸找增廣路的過程，如果找到增廣路，匹配數就一定可以加一。(代碼就不上了，都是一個模板)

理解到這裏其實才只是個開始，我想解決的是最大匹配與最小頂點覆蓋數、最小邊覆蓋數、最大點獨立集之間的關系是怎麽得來的。首先是結論：

在任意圖中：(《挑戰》裏的結論)
(a)、對於不存在孤立點的圖，最大匹配+最小邊覆蓋=頂點數；

然後是概念：(參考ACdreamer)

最大匹配：二分圖中邊集的數目最大的那個匹配；

最小頂點覆蓋：用最少的點，讓每條邊都至少和其中一個點關聯；

最小邊覆蓋：用盡量少的不相交簡單路徑覆蓋有向無環圖(DAG)G的所有頂點；

最大獨立集：在Ｎ個點的圖G中選出m個點，使這m個點兩兩之間沒有邊的點中，m的最大值。

任意圖中的np難題這裏不考慮，所以所有模型我們只考慮二分圖。這裏參考了這篇文章。

1、二分圖中最小頂點覆蓋等於最大匹配數
最小頂點覆蓋：實質是個點集，點集裏面的點能覆蓋所有的邊，最小頂點覆蓋就是滿足這個要求的點集中點數最小的那個。

證明(是我的個人理解，其實是我沒看懂別人的= =)：首先，最小頂點覆蓋一定>=最大匹配，因為假設最大匹配為n，那麽我們就得到了n條互不相鄰的邊，光覆蓋這些邊就要用到n個點。(參考金海峰，按照人家的思路來，省的別人說我這是瞎蒙的)這裏事實上就可以看出最小頂點覆蓋和最大匹配的不同了，最大匹配的點一定是兩兩成對的，而最小頂點覆蓋還有相對孤立的點。註意是相對孤立，並不是他們之間肯定沒有邊，而是不屬於匹配範圍內的。那麽匹配範圍外的節點，一種就是有邊和匹配範圍內元素相連但是沒有匹配到，一種就是沒邊。

有邊的話這個邊就連在了匹配範圍內，那這個頂點覆蓋代表元素就是既可以連接上匹配元素，又可以連接到非匹配元素，相當於這個非匹配範圍內的元素被這個“特殊頂點”覆蓋，最小頂點覆蓋數並沒有增加；

那麽完全沒邊的孤立節點呢？好嘞，最小點集覆蓋目的就是要覆蓋所有的邊，既然這個節點沒有邊相連，那還要你幹毛？滾吧。這樣依然沒有影響最小頂點覆蓋數。

至此，匹配範圍外的所有節點都不可能影響到最小頂點覆蓋數，所以兩者完全相等。

2、二分圖中最小邊覆蓋=頂點數-最小頂點覆蓋（最大匹配）
最小邊覆蓋：實質是個邊集，這個集合裏的邊能覆蓋所有的點，最小邊覆蓋是滿足這個要求的所有邊集中邊數最少的一個。

這裏頂點數等於總的頂點數，是二分圖兩邊的頂點數，不是一邊。

證明：(這裏我看懂了該博客，所以直接貼上他的思路)設最大匹配數為m，總頂點數為n。為了使邊數最少，又因為一條邊最多能幹掉兩個點，所以盡量用邊幹掉兩個點。也就是取有匹配的那些邊，當然這些邊是越多越好，那就是最大匹配了，所以先用最大匹配數目的邊幹掉大多數點。剩下的解決沒有被匹配的點，就只能一條邊幹掉一個點了，設這些數目為a，顯然，2m+a=n，而最小邊覆蓋=m+a，所以最小邊覆蓋=（2m+a）-m=n-m。

3、二分圖中最大獨立集+最小頂點覆蓋（最大匹配）=頂點數

最大獨立集：實質是個點集，這個集合裏的點無論怎樣都兩兩相連不到一起，滿足這個要求的點數最少的一個。

證明：這個最好理解了，既然最小頂點覆蓋就是最大匹配的那些頂點，那麽剩下的節點就是相對孤立的點。而這些相對孤立的點兩兩肯定沒有邊(若有邊，匹配數就該加一了，也就是這兩點是匹配點)，不就是最大獨立集嗎？那這樣所有的點就都考慮到了，兩者一加就變成了所有頂點數。

ps:

其實本來我是不想寫的，大家也看到這裏面好多別人的見解。但是只是想讓自己理清一下思路，至少寫了這篇不會再對那些結論一臉懵逼地用了。第一次自己這樣整理文章，如有不足請提出，我會盡量改正。

這些概念都清楚就可以去切水題了，那些題基本就改個輸入輸出= =，不過好歹水幾道高潮一下還是可以的ahhh~

二分圖中對最小頂點覆蓋、最小邊覆蓋、最大獨立集的理解[轉]