在攤還分析中，通過求數據結構的一系列的操作的平均時間，來評價操作的代價。這樣，即使這些操作中的某個單一操作的代價很高，也可以證明平均代價很低。攤還分析不涉及概率，它可以保證最壞情況下每個操作的平均性能。

攤還分析有三種常用的技術：

聚合分析，它確定$n$個操作的總代價的上界為$T(n)$，所以每個操作的平均代價為$\frac{{T(n)}}{n}$。每個操作都有相同的攤還代價。

核算法：分析每個操作的攤還代價，不同於聚合分析，每種操作的攤還代價是不同的，核算法將序列中較早的操作的余額作為“信用”儲存起來，與數據結構中的特定對象相關聯，在隨後的操作中，儲存的信用可以用來進行支付。

勢能法：與核算法類似，也是分析每個操作的代價，但將勢能作為一個整體存儲，而與數據結構中的某個對象無關。

一、聚合分析

以棧操作為例：

存在3種操作：1、$push$ 2、$pop$ 3、$multipop$

直觀地分析復雜度：因為棧的大小最大為$n$，所以$multipop$的最壞情況為$O(n)$，所以，由n個$push$,$pop$,$multipop$組成的操作序列的最壞代價為$O( n^2)$，因為序列可能包含$O(n)$個操作序列。

上面的分析給出的界並不是緊確界，實際上，在一個空棧上執行$n$個$push$, $pop$, $multipop$的操作序列，代價最多為$O(n)$。這是因為，當一個對象壓入棧後，至多將其彈出一次。所以，對於一個非空的棧，可以執行的$pop$的次數（包含$multipop$中的$pop$）最多與$push$操作次數一樣，即$n$次。所以，對任意的$n$，任意一個由$n$個$push$ , $pop$,$multipop$組成的操作序列，最多花費$O(n)$。所以，每個操作的攤還代價為$O(1)$。

二、核函數

核算法，對不同的操作賦予不同的費用，這個費用就是攤還代價。當一個操作的攤還代價超過實際代價的時候，將差額存入數據結構中的特定對象，存入的差額稱為信用。對於後續操作中，攤還代價小於實際代價的情況，信用可以用來支付差額。

　　因為希望通過分析攤還代價來說明每個操作的平均代價的很小，所以應該確保$n$個操作序列的攤還代價是實際代價的上界。如果${c_i}$ 表示第i個操作的真實代價，而${c‘_i}$表示攤還代價，則對於任意的$n$，有：$\sum\limits_{i = 1}^n {{c_i}^\prime } \ge \sum\limits_{i = 1}^n {{c_i}} $。因為信用就是攤還代價和實際代價的差值，即 $\sum\limits_{i = 1}^n {{c_i}^\prime } - \sum\limits_{i = 1}^n {{c_i}} $，所以需要保持數據結構中的總信用永遠為非負值。

依然以站操作為例：下面證明，如果按照攤還代價進行繳費，則可以支付任意的$n$個棧操作序列。在$push$操作時，共繳費2美元，其中1美元支付$push$的實際代價，將剩余的1美元存入插入的元素，作為信用。這樣，每個插入的元素都具有1美元的信用。這1美元的信用，實際上是用來支付$pop$操作的預付費。當執行一個$pop$的時候，並不繳額外的費用，而是使用信用來支付實際代價。$multipop$也一樣。所以，對任意的n個PUSH, POP, MULTIPOP組成的序列，總攤還代價為實際代價的上界，總攤還代價為$O(n)$。

三、勢能法

勢能法與核算法類似，但是勢能法並不將預付代價表示為數據結構中特定對象的信用，而是表示為“勢能”。勢能是與整個數據結構相關聯，而不是某個特定的對象。將勢能釋放，就可以支付未來操作的代價。

勢能法如下：對一個初始數據結構 ${D_0}$執行$n$個操作。對於i = 1, 2,...,n， ${c_i}$表示第i個操作的實際代價， ${D_i}$表示在數據結構 ${D_{i - 1}}$上執行第i個操作得到的數據結構。勢函數$\varphi $將每個數據結構${D_i}$映射到一個實數 $\varphi ({D_i})$，這個值就是關聯到數據結構 的勢。所以，第i個操作的攤還代價為${c‘_i} = {c_i} + \varphi ({D_i}) - \varphi ({D_{i - 1}})$。每個操作的攤還代價等於其實際代價加上此操作引起的勢能變化。

勢能法其實就是核函數的總體分析。

算法導論17：攤還分析學習筆記