二進制的力量

狀態壓縮DP

憤怒的小鳥

第一次接觸狀態壓縮DP是在NOIP2016的憤怒的小鳥，當時菜得連題目都沒看懂，不過現在回過頭來看還是挺簡單的，那麽我們再來看看這道題吧。

題意&數據範圍看這

考慮預處理出兩個點構成的拋物線，因為經過原點，所以對於二次函數

ax2+bx+c
因此已知兩個點 (x1,y1),(x2,w2)可得出

a=(y2/x2+y1/x1)/(x2-x1)

b=(y2-ax22)/x2

所以思路也就自然而然的來了,枚舉兩個點，求出它們所構成的拋物線，再枚舉其它的點，看這條拋物線經過另外的哪些點。

然後問題又來了，該如何存儲這條拋物線上的信息？

思路1：儲存這條拋物線上的個數

這應該是最好想到的一條思路了，但也很快可以否決掉，會發現只存個數的話會無法判斷是否打完。

思路2：對每條拋物線開一個數組

這樣做的正確性無法否定，可是你的空間呢？

思路3：二進制信息存儲

有的時候暴力的思想也是很重要的，這往往預示著正解。

既然我們只要表示某個點的存在或否，我們何不用2進制的一位來表示呢？

這便是狀態壓縮的核心思想了，對於簡單的狀態存儲，重新開數組太過浪費，可以用一個二進制數來代替數組。

假設我們現在有5個點，那麽一條拋物線的初始狀態是什麽也沒有，用一個五位的二進制數表示即 00000。

現在假設我們發現第3個點在這條拋物線上，即要讓它變成00100 要怎麽辦呢。

不難想到我們只要把 1 左移 2 位，再or上去就行了。

因此每當我們發現一個編號為 i 的點，假設表示拋物線的數為f,那麽我們可以寫出如下運算式:

f=f|2i-1

這樣就可以預處理出所有的拋物線了，

然後有了拋物線，狀態轉移方程也不難寫出來。

設dpi表示當前狀態最小需要的最小豬，則:
dpi|f=min { dpi+1}
其中f為拋物線。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define maxm 1000+10
#define maxn 1000+10
#define min(a,b) (a<b?a:b)
using namespace
 
 std;
int f[(1<<20)],get[20][20];
double x[20],y[20];
template<class T>
inline bool read(T&n,char ch=getchar(),int sign=1){
    if(ch==EOF)return 0;for(n=0;(ch<‘0‘||ch>‘9‘)&&ch!=‘-‘;ch=getchar());
    if(ch==‘-‘)sign=-1,ch=getchar();for(;ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘;ch=getchar())
    (n*=10)+=(ch-‘0‘);n*=sign;return 1;
}
inline bool equ(double a,double b){
    return abs(a-b)<10e-8;
}
int main(){
    #ifdef Files
        freopen("f.in","r",stdin);
        freopen("f.out","w",stdout);
    #endif
    #ifdef die
    for(int i=1;i<=19;i++) printf("%d ",un[i]);
    #endif
    int T;read(T);
    for(int i=1;i<=T;i++){
        int n,m,tot=0;read(n),read(m);
        memset(get,0,sizeof(get));
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf%lf",&x[i],&y[i]);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=i+1;j<=n;j++){
                if(equ(x[i],x[j]))continue;
                double a=(y[j]/x[j]-y[i]/x[i])/(x[j]-x[i]);
                 double b=(y[j]-a*x[j]*x[j])/x[j];
                if(a>-1e-8) continue;
                for(int k=1;k<=n;k++)
                    if(equ(a*x[k]*x[k]+b*x[k],y[k])) get[i][j]|=1<<(k-1);
            }
        memset(f,127,sizeof(f));f[0]=0;
        for(int i=0;i<=(1<<n)-1;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                if(!((1<<j-1)&i)){
                    for(int k=j+1;k<=n;k++)
                        f[i|get[j][k]]=min(f[i]+1,f[i|get[j][k]]);
                    f[i|1<<(j-1)]=min(f[i]+1,f[i|1<<(j-1)]);
                }
        printf("%d\n",f[(1<<n)-1]);
    }
}

【dp】狀壓dp