http://172.20.6.3/Problem_Show.asp?id=1518
最開始只想到了n^2的寫法，肯定要超時的，所以要對求gcd的過程進行優化。
首先是前綴和容斥，很好理解。
第二個優化大致如下：
u為莫比烏斯函數，t為gcd(x,y)為i的倍數的數的個數；
滿足gcd(x,y)=1的數字對的數量=sigma(1<=i<=min(x,y))u[i]*t[i];
t[i]=(x/i)*(y-i);
由小數向下取整可知有連續的i滿足x/i為定值，y/i也是定值，所以可以分塊計算，用u[i]的前綴和*定值，加快求gcd(x,y)=1的對數的速度。

代碼

 1 #include<cstdio>
 2
 
 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cmath>
 5 #include<iostream>
 6 using namespace std;
 7 const int maxn=50010;
 8 int n;
 9 int a,b,c,d,k;
10 bool vis[maxn]={};
11 int ur[maxn]={},su[maxn]={},sum[maxn]={},tot=0;
12 void doit(){
13     sum[1]=1;ur[1]=1;
14     for
 
(int i=2;i<maxn;i++){
15         if(!vis[i]){ur[i]=-1;su[++tot]=i;}
16         for(int j=1;j<=tot&&i*su[j]<maxn;j++){
17             int z=i*su[j];vis[z]=1;
18             if(i%su[j]==0)break;
19             ur[z]=ur[su[j]]*ur[i];
20         }
21         sum[i]=sum[i-1]+ur[i];
22     }
 
23 }
24 int  getit(int x,int y){
25     int z=0,nex=0;
26     if(x>y)swap(x,y);
27     for(int i=1;i<=x;i=nex+1){
28         int xx=x/i,yy=y/i;
29         nex=min(x/xx,y/yy);
30         z+=(sum[nex]-sum[i-1])*xx*yy;
31     }
32     return z;
33 }
34 int main(){
35     doit();int ans=0;
36     scanf("%d",&n);
37     while(n-->0){
38         scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
39         a-=1;c-=1;
40         a/=k;b/=k;c/=k;d/=k;
41         ans=0;ans+=getit(b,d);ans-=getit(b,c);ans-=getit(a,d);ans+=getit(a,c);
42         printf("%d\n",ans);
43     }
44     return 0;
45 }

JZYZOJ1518 [haoi2011]b 莫比烏斯反演 分塊 容斥