1.1 定義

定義：假設X服從標準正態分布N（0,1），Y服從 卡方分布，那麽 的分布稱為自由度為n的t分布,記為 。

分布密度函數 ，其中，Gam(x)為伽馬函數。

可用於兩組獨立計量資料的假設檢驗。

由於在實際工作中，往往σ（總體方差）是未知的，常用s（樣本方差）作為σ總體方差的估計值，為了與u變換（正態化變換）區別，稱為t變換，統計量t 值的分布稱為t分布。【u分布也叫標準正態分布】

u變換：[(X-μ)/σ]轉化成標準正態變量u，以使原來各種形態的正態分布都轉換為μ=0，σ=1的標準正態分布（standard normaldistribution），亦稱u分布。

在概率論

經常應用在對呈正態分布的總體的均值進行估計。它是對兩個樣本均值差異進行顯著性測試的學生t測定的基礎。t檢定改進了Z檢定（en:Z-test），不論樣本數量大或小皆可應用。在樣本數量大（超過120等）時，可以應用Z檢定，但Z檢定用在小的樣本會產生很大的誤差，因此樣本很小的情況下得改用學生t檢定。

t分布曲線形態與n（確切地說與自由度df）大小有關。與標準正態分布曲線相比，自由度df越小，t分布曲線愈平坦，曲線中間愈低，曲線雙側尾部翹得愈高；自由度df愈大，t分布曲線愈接近正態分布曲線，當自由度df=∞時，t分布曲線為標準正態分布曲線。

當總體的標準差是未知的但卻又需要估計時，我們可以運用t-分布。

【特征】：

（1）以0為中心，左右對稱的單峰分布；

（2）其數學期望E(Z) = 0，n>1;方差D(Z)=n/n-2 , n>2 。

（3）t分布是一簇曲線，其形態變化與n（確切地說與自由度df）大小有關。自由度df越小，t分布曲線越低平；自由度df越大，t分布曲線越接近標準正態分布（u分布）曲線；

（4）隨著自由度逐漸增大，t分布逐漸接近標準正態分布。

【本質】：

T分布本質上和標準正態分布沒有太大本質差別，可以說就是標準正態分布的一個近似分布。而標準正態分布只是正態分布的一個特殊情況。綜上，從本質上說，T分布就是正態分布的一種特殊的近似。

t分布是正態分布的小樣本形態。

①正態分布是與自由度無關的一條曲線； t分布是依自由度而變的一組曲線。

② t分布較正態分布頂部略低而尾部稍高。

T 分布（近似標準正態分布）