背景

看到有人在問這個問題，拿來算算。

自從有了CSDN-MarkDown之後，寫部落格舒服多了，尤其是數學公式部分。

原理

推薦的參考書是:
Schaum’s outline of Probability and Statistics, 3rd Edition, 2009; 科學出版社2002年翻譯出版了該書的第二版，所以有中文版。

Continuous Variables

• Theorem 1. Let X be a continuous random variable with probability density f(x). Let us define U=ϕ(X)
  , where X=ψ(U)=ϕ−1(U)(反函式存在). Then the probability density of U is given by g(u), where:
  g(u)|du|=f(x)|dx|
  or
  g(u)=f(x)∣∣∣dxdu∣∣∣=f[ϕ−1(u)]∣∣ψ′(u)∣∣

當連續隨機變數是多維的情況下，聯合分佈密度函式是多元函式，這時候絕對值符號內對應於雅可比行列式。

• Theorem 2. Let X and Y be continuous random variables having joint density function f(x,y). Let us define U

  =ϕ1(X,Y), V=ϕ2(X,Y), where X=ψ1(U,V),Y=ψ2(U,V). Then the joint density function of U adn V is given by g(u,v), where:
  g(u,v)|dudv|=f(x,y)|dxdy|
  or
  g(u,v)=f(x,y)∣∣∣∂(x,y)∂(u,v)∣∣∣=f(ψ1(u,v),ψ2(u,v))∣∣∣∣∣⎛⎝⎜⎜⎜∣∣∣∣∣∂ψ1∂u∂ψ2∂u∂ψ1∂v∂ψ2∂v∣∣∣∣∣Jacobian⎞⎠⎟⎟⎟∣∣∣∣∣abs

提示：“複合”函式ϕi的“反函式”ψi解析表示式存在很關鍵；函式ϕi在計算中反而並未出現。

舉例

• Example 設X服從標準正態分佈，則Y=1X服從何種分佈（求概率密度函式）？如果存在，計算Y的數學期望。

  解：

  直接套用 定理1 即可。
  標準正態分佈的概率密度函式：
  f(x)=12π−−√e−x22, 以及:
  y=ϕ(x)=1x,x=

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