import numpy as np
import scipy.stats as st

• 機率（odds）

  $p(B)=\frac1{20}$：二十場比賽只贏一場
  **odds against B winning: ** $o(B)=\frac{1-p(B)}{p(B)}=19$：
  A贏19場比賽，B才會贏一場

0. 常見分佈

• 泊松分佈：st.poisson(lambda)
• 指數分佈：st.expon
• 二項分佈：st.binom(n, p)
• 正態分佈：st.norm
• beta分佈：st.beta
• gamma分佈：st.gamma

1. scipy.stats vs. scipy.special

• scipy.special：中定義的是一些特殊的函式；
  • scipy.special.beta：表示的是beta函式；
  • scipy.special.gamma：表示的則是 gamma 函式
• scipy.stats：定義的則是概率分佈；
  • scipy.stats.beta：表示的是 beta 分佈；
  • scipy.stats.gamma：表示的是 gamma 分佈；

2. 建立隨機變數（rv：random variable）

• 泊松分佈：

  F_true = 1000
  N = 50
  F = st.poisson(F_true).rvs(N)
  				# 泊松分佈為離散型概率分佈
   
  

  也可以這樣：

  mu_true, sigma_true = 1000, 15
  N = 100
  F_true = st.norm(mu_true, sigma_true).rvs(N)
  F = st.poisson(F_true).rvs()
  

• 二項分佈

  # python
  >>> import scipy.stats as st
  >>> n, p = 100, .5
  >>> X = st.binom(n, p)
  						# 隨機變數X：投100次硬幣正面出現的個數
  						# 用二項分佈表示
  >>> X.mean()
  50.0						# mu = n*p = 100*.5 
  >>> X.std()
  5.0							# sigma = sqrt(n*p*q)=sqrt(100*.5*.5)
   
  

  st.binom(100, .5).rvs() ⇒ 取樣（trial）；

3. 連續性概率分佈函式：pdf

pdf 表示的是函式，給一定輸入值，就會得到一個輸出值，而不是隨機變數。

• st.norm.pdf(0, loc=0, scale=1) ⇒ $\frac1{\sqrt{2\pi}}$

  如下程式碼繪製出 $f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{(x-1)^2}{2})$

  mu, sigma = 1, 1
  xs = np.linspace(-5, 5, 1000)
  plt.plot(x, st.norm.pdf(xs, loc=mu, scale=sigma))
  plt.show()
  

• st.multivariate_normal：多元正態分佈；
  <a href=“https://docs.scipy.org/doc/scipy-0.14.0/reference/generated/scipy.stats.multivariate_normal.html”, target="_blank">scipy.stats.multivariate_normal

  • 直接傳遞$x$，根據概率密度函式（pdf）獲得其值；

  x = np.linspace(0, 5, 10, endpoint=False)
  y = st.multivariate_normal.pdf(x, mean=2.5, cov=.5)
  

  • 首先定義隨機變數，再取得 pdf 在各個位置上的值；

  x, y = np.mgrid[-1:1:.01, -1:1:.01]
  pos = np.empty(x.shape + (2,))
  pos[:, :, 0] = x; pos[:, :, 1] = y
  rv = multivariate_normal([0, 0], [[1, 0], [0, 1]])
  plt.contourf(x, y, rv.pdf(pos))