6.1-1

　　在高度為 h 的堆中，元素最多有 2^h+1 - 1 個，最少有 2^h 個。註意算法導論裏的高度是指深度，從 0 開始而不是從 1 開始。

6.1-2

　　這很好想，但是不好證明。

　　由已知高度為 h 的堆，它的元素個數滿足 2^h <= n <= 2^h+1 - 1 ，解出 lg(n+1) - 1 <= h <= lgn ，但是它不夠“合理”，因為當 n = 2^h+1-1 時，n 等於 2的冪 - 1，此時 lg(n+1) -1 = ?lgn? ，所以 ?lgn? <= h <= lgn 。而我們默認高度 h 是一個自然數，所以左右界一致，得出 h = ?lgn? 。

6.1-3

　　最大堆的屬性告訴我們除了根結點以外的所有結點都要滿足 A[PARENT(I)] >= A[I] ，一棵樹是遞歸定義的，所以子樹的最大結點肯定是其根結點。

6.1-4

　　它一定是葉子結點，位於 ?lgn? 或 ?lgn? - 1 層

6.1-5

　　按遞增排序的話，是的

6.1-6

　　不是，"PARENT" 6 < "CHILD" 7

6.1-7

　　通過反證法比較好證明。

　　假設 i ∈ { ?n/2?+1, ?n/2?+2, ... , n } ，那麽它的孩子的序號至少是 2·(?n/2?+1), 2·(?n/2?+2) ，顯然不在數組內。

　　所以可以得到結論：堆中葉子結點數 = ?n+1?

6.2-1

　　 3 先與左右兒子比較，找到其中最大的關鍵字並記錄它的索引，讓它與 3 交換，遞歸調用實現 3 的子樹堆化。

6.2-2

　　維護最小堆的算法如下：

#define LEFT(i) (2*i + 1)
#define RIGHT(i) (2*i + 2)

MIN-HEAPIFY (A, i)
    left = LEFT (i)
    right = RIGHT (i)
    if left <= A.HEAPSIZE && A[left] < A[i]
        min_index 
 
= left
    else
        min_index = i
    if right <= A.HEAPSIZE && A[right] < A[min_index]
        min_index = right
    if min_index != i
        exchange A[i] and A[min_index]
        MIN-HEAPIFY(A, min_index)

　　時間一樣，都是 Θ(lgn)

6.2-3

　　不會進行遞歸堆化。　　

6.2-4

　　其子結點的序號超出了堆的大小，程序將視為其子結點不存在，所以不會進行堆化操作。

6.2-5

　　尾遞歸改循環控制結構如下：　　

#define LEFT(i) (2*i + 1)
#define RIGHT(i) (2*i + 2)

MAX-HEAPIFY (A, i)
    while i < A.HEAPSIZE
        left = LEFT(i)
        right = RIGHT(i)

        if left < A.HEAPSIZE && A[left] > A[i]
            max_index = left
        else
            max_index = i

        if right < A.HEAPSIZE && A[right] > A[max_index]
            max_index = right

        if max_index != i 
            exchange A[max_index] and A[i]
        else
            return;

6.2-6

　　...

6.3-1

　　從 ?A.length/2? 開始，即第一個非葉子結點 10 開始(最大)堆化，然後是 3、2、1 。過程很簡單，直接寫結果了，得到的數組是 {84, 22, 19, 10, 3, 17, 6, 5, 9}

6.3-2

　　我們從 ?n/2? 開始的目的是要讓每次叠代前後 i 都是最大堆的根。如果從 1 開始，那麽將無法保持最大堆的特性（無法保證循環不變式）。

6.3-3

　　這裏將利用到 6.1-7 的結論：堆中葉子結點數 = ?n/2?

　　首先，當 h = 0 時（算法導論中高度深度都是從 0 開始），高度為零的堆就是葉子結點組成的堆，有 ?n/2? 個這樣的堆，結點數是 ?n/2?

　　假設當 h = h-1 時，結論成立。

　　有一顆高度為 h 的堆，如果把它的葉子結點都剪去後它將變成高度為 h - 1 、結點數為 n - ?n/2? = ?n/2? 的堆，代入 h = h-1 時的結論，有如下推導：

　　同理，我們可以用高度為 h+1 的堆剪去葉子結點得到高度為 h 的堆，其高度與最大結點數的關系還是上式。

《算法導論》第六章 練習題 Exercise