我們知道整數n的位數的計算方法為：log10(n)+1
n!=10^m
故n!的位數為 m = log10(n!)+1

lgN！=lg1+lg2+lg3+lg4+lg5+....................+lgN;

但是當N很大的時候，我們可以通過數學公式進行優化：（即Stirling公式）

N！=sqrt（2*pi*N）*（N/e）^N；（pi=3.1415926=acos（-1.0），e=exp(1)）

lgN！=(lg(2*pi)+lgN)/2+N*(lgN-lge);

斯特林公式可以用來估算某數的大小結合lg可以估算某數的位數，或者可以估算某數的階乘是另一個數的倍數。

例題

https://www.nowcoder.net/acm/contest/75/A

題意 求解n的階乘八進制下的位數

n!=8^res n!=e^m

res=log8(n!) m=loge(n!)

log8(n!)= loge(n!)/loge(8) res = m/loge(8)換底公式

m=loge(2*pi*n)/2+n*loge(n/e)

AC代碼

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <iostream>
#include <sstream>
#include 
 
<algorithm>
#include <string>
#include <queue>
#include <map>
#include <vector>
using namespace std;
const int maxn = 1e6+10;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const double e = exp(1);
const double pi = acos(-1.0);
const double epx = 1e-10;
typedef long long ll;
int main()
{
    ll t;
    scanf(
 
"%lld",&t);
    while(t--){
        ll n;
        scanf("%lld",&n);
        if(n==0||n==1){
            puts("1");
            continue;
        }
        double res = (log(2*pi*n)/2.0+n*log(n/e))/log(8)+1;
        printf("%lld\n",(ll)res);
    }
    return 0;
}

斯特林(Stirling)公式 求大數階乘的位數