圖的基本算法（最小生成樹）
假設以下情景，有一塊木板。板上釘上了一些釘子。這些釘子能夠由一些細繩連接起來。假設每一個釘子能夠通過一根或者多根細繩連接起來。那麽一定存在這種情況，即用最少的細繩把全部釘子連接起來。
更為實際的情景是這種情況。在某地分布著N個村莊。如今須要在N個村莊之間修路，每一個村莊之前的距離不同，問怎麽修最短的路，將各個村莊連接起來。
以上這些問題都能夠歸納為最小生成樹問題，用正式的表述方法描寫敘述為：給定一個無方向的帶權圖G=(V, E)，最小生成樹為集合T, T是以最小代價連接V中全部頂點所用邊E
T中的邊能夠形成一顆樹。這是由於每一個節點（除了根節點）都能向上找到它的一個父節點。
解決最小生成樹問題已經有前人開道，Prime算法和Kruskal算法。分別從點和邊下手攻克了該問題。
Prim算法
Prim算法是一種產生最小生成樹的算法。該算法於1930年由捷克數學家沃伊捷赫·亞爾尼克（英語：Vojtěch Jarník）發現。並在1957年由美國計算機科學家羅伯特·普裏姆（英語：Robert C. Prim）獨立發現。1959年，艾茲格·迪科斯徹再次發現了該算法。
Prim算法從隨意一個頂點開始，每次選擇一個與當前頂點集近期的一個頂點，並將兩頂點之間的邊增加到樹中。
Prim算法在找當前近期頂點時使用到了貪婪算法。
算法描寫敘述：
1. 在一個加權連通圖中，頂點集合V。邊集合為E
2. 隨意選出一個點作為初始頂點,標記為visit,計算全部與之相連接的點的距離，選擇距離最短的，標記visit.
3. 反復以下操作，直到全部點都被標記為visit：
在剩下的點鐘。計算與已標記visit點距離最小的點，標記visit,證明增加了最小生成樹。
以下我們來看一個最小生成樹生成的過程：
1 起初，從頂點a開始生成最小生成樹
2 選擇頂點a後，頂點啊置成visit（塗黑）,計算周圍與它連接的點的距離：
3 與之相連的點距離分別為7
6,4，選擇C點距離最短，塗黑C，同一時候將這條邊高亮增加最小生成樹： 
4 計算與
a,c相連的點的距離（已經塗黑的點不計算），由於與a相連的已經計算過了，僅僅須要計算與c相連的點，假設一個點與a,c都相連。那麽它與a的距離之前已經計算過了，假設它與c的距離更近。則更新距離值。這裏計算的是未塗黑的點距離塗黑的點的近期距離，非常明顯，b和a為7，b和c的距離為6。更新b和已訪問的點集距離為6，而f,e和c的距離各自是8,9，所以還是塗黑b,高亮邊bc： 
5 接下來非常明顯。
d距離b最短。將d塗黑。bd高亮： 
6
f距離d為7，距離b為4。更新它的最短距離值是4。所以塗黑f，高亮bf： 
7 最後僅僅有
e了： 
針對如上的圖,代碼實比例如以下：
#include<iostream>
#define INF 10000
using namespace std;
const int N = 6;
bool visit[N];
int dist[N] = { 0, };
int graph[N][N] = { {INF,7,4,INF,INF,INF}, //INF代表兩點之間不可達
{7,INF,6,2,INF,4},
{4,6,INF,INF,9,8},
{INF,2,INF,INF,INF,7},
{INF,INF,9,INF,INF,1},
{INF,4,8,7,1,INF}
};
int prim(int cur)
{
int index = cur;
int sum = 0;
int i = 0;
int j = 0;
cout << index << " ";
memset(visit, false, sizeof(visit));
visit[cur] = true;
for (i = 0; i < N; i++)
dist[i] = graph[cur][i];//初始化。每一個與a鄰接的點的距離存入dist
for (i = 1; i < N; i++)
{
int minor = INF;
for (j = 0; j < N; j++)
{
if (!visit[j] && dist[j] < minor) //找到未訪問的點中，距離當前最小生成樹距離最小的點
{
minor = dist[j];
index = j;
}
}
visit[index] = true;
cout << index << " ";
sum += minor;
for (j = 0; j < N; j++)
{
if (!visit[j] && dist[j]>graph[index][j]) //運行更新，假設點距離當前點的距離更近，就更新dist
{
dist[j] = graph[index][j];
}
}
}
cout << endl;
return sum; //返回最小生成樹的總路徑值
}
int main()
{
cout << prim(0) << endl;//從頂點a開始
return 0;
}Kruskal算法
Kruskal是還有一個計算最小生成樹的算法，其算法原理例如以下。首先，將每一個頂點放入其自身的數據集合中。然後，依照權值的升序來選擇邊。當選擇每條邊時，推斷定義邊的頂點是否在不同的數據集中。假設是，將此邊插入最小生成樹的集合中，同一時候。將集合中包括每一個頂點的聯合體取出。假設不是。就移動到下一條邊。反復這個過程直到全部的邊都探查過。
以下還是用一組圖示來表現算法的過程：
1 初始情況，一個聯通圖，定義針對邊的數據結構，包括起點，終點。邊長度：
typedef struct _node{
int val; //長度
int start; //邊的起點
int end; //邊的終點
}Node;
2 在算法中首先取出全部的邊，將邊依照長短排序，然後首先取出最短的邊，將a,e放入同一個集合裏，在實現中我們使用到了並查集的概念：
3 繼續找到第二短的邊，將c, d再放入同一個集合裏：
4 繼續找。找到第三短的邊ab，由於a,e已經在一個集合裏。再將b增加：
5 繼續找，找到b,e。由於b,e已經同屬於一個集合，連起來的話就形成環了。所以邊be不增加最小生成樹：
6 再找，找到bc，由於c,d是一個集合的。a,b,e是一個集合。所以再合並這兩個集合：
這樣全部的點都歸到一個集合裏，生成了最小生成樹。
依據上圖實現的代碼例如以下：
#include<iostream>
#define N 7
using namespace std;
typedef struct _node{
int val;
int start;
int end;
}Node;
Node V[N];
int cmp(const void *a, const void *b)
{
return (*(Node *)a).val - (*(Node*)b).val;
}
int edge[N][3] = { { 0, 1, 3 },
{ 0, 4, 1 },
{ 1, 2, 5 },
{ 1, 4, 4 },
{ 2, 3, 2 },
{ 2, 4, 6 },
{ 3, 4, 7}
};
int father[N] = { 0, };
int cap[N] = {0,};
void make_set() //初始化集合，讓全部的點都各成一個集合。每一個集合都僅僅包括自己
{
for (int i = 0; i < N; i++)
{
father[i] = i;
cap[i] = 1;
}
}
int find_set(int x) //推斷一個點屬於哪個集合，點假設都有著共同的祖先結點，就能夠說他們屬於一個集合
{
if (x != father[x])
{
father[x] = find_set(father[x]);
}
return father[x];
}
void Union(int x, int y) //將x,y合並到同一個集合
{
x = find_set(x);
y = find_set(y);
if (x == y)
return;
if (cap[x] < cap[y])
father[x] = find_set(y);
else
{
if (cap[x] == cap[y])
cap[x]++;
father[y] = find_set(x);
}
}
int Kruskal(int n)
{
int sum = 0;
make_set();
for (int i = 0; i < N; i++)//將邊的順序按從小到大取出來
{
if (find_set(V[i].start) != find_set(V[i].end)) //假設改變的兩個頂點還不在一個集合中，就並到一個集合裏。生成樹的長度加上這條邊的長度
{
Union(V[i].start, V[i].end); //合並兩個頂點到一個集合
sum += V[i].val;
}
}
return sum;
}
int main()
{
for (int i = 0; i < N; i++) //初始化邊的數據，在實際應用中可依據詳細情況轉換而且讀取數據,這邊僅僅是測試用例
{
V[i].start = edge[i][0];
V[i].end = edge[i][1];
V[i].val = edge[i][2];
}
qsort(V, N, sizeof(V[0]), cmp);
cout << Kruskal(0)<<endl;
return 0;
}圖的基本算法（最小生成樹）