在自然語言中，常常使用“或”，“與”，“但是”等一些聯結詞，對於這種聯結詞的使用，一般沒有很嚴格的定義，因此有時顯得不很確切。在數理邏輯中，復合命題是由原子命題與邏輯聯結詞組合而成，聯結詞是復合命題中的重要組成部分，為了便於書寫和進行推演，必須對聯結詞作出明確規定並符號化。下面介紹各個聯結詞。
(1)否定
定義1-2.1設p為一命題，p的否定是一個新的命題，記作┓p.若p為t, ┓p為f;若p為f,┓p為t.聯結詞＂┓＂表示命題的否定.否定聯結詞有時亦可記作＂－＂.

命題p與其否定┓p的關系如表1-2.1所示.

表1-2.1

例 p:上海是一個大城市.

┓p:上海並不是一個大城市.

或 ┓p:上海是一個不大的城市.

這兩個命題用同一符號┓p表示,因為在漢語中這兩個命題具有相同的意義.

“否定”的意義僅是修改了命題的內容,我們仍把它看作為聯結詞,它是一個一元運算.

(2)合取

定義1-2.2 兩個命題p和q的合取是一個復合命題,記作p∧q.當且僅當p、q同時為t時, p∧q為t,在其他情況下, p∧q的真值都是f.

聯結詞＂∧＂的定義如表1-2.2所示.

表1-2.2

例如 p:今天下雨.

q:明天下雨.

上述命題的合取為 p∧q:今天下雨而且明天下雨.

p∧q:今天與明天都下雨.

p∧q:這兩天都下雨.

顯然只有當“今天下雨”與“明天下雨”都是真時,“這兩天都下雨”才是真的.

合取的概念與自然語言中的”與”意義相似,但並不完全相同.

例如 p:我們去看電影.

q:房間裏有十張桌子.

上述命題的合取為

p∧q:我們去看電影與房間裏有十張桌子.

在自然語言中,上述命題是沒有意義的,因為p與q沒有內在聯系,但作為數理邏輯中p和q的合取p∧q來說,它仍可成為一個新的命題,只要按照定義,在p、q分別取真值後, p∧q的真值也p∧q必確定.

命題聯結詞“合取”甚至可以將兩個互為否定的命題聯結在一起.這時,其真值永為f.

命題聯結詞“合取”也可以將若幹個命題聯結在一起.

“合取”是一個二元運算.

(3)析取

定義1-2.3 兩個命題p和q的析取是一個復合命題,記作p∨q.當且僅當p、q同時為f時, p∨q的真值為f,否則p∨q的真值為t.

聯結詞“∨”的定義如表1-2.3所示.

表1-2.3

從析取的定義可以看到,聯結詞∨與漢語中的“或”的意義也不完全相同,因為漢語中的“或”,可表示“排斥或”,也可以表示“可兼或”。

例1 今天晚上我在家看電視或去劇場看戲.

例2 他可能是100米或400米賽跑的冠軍.

在例1中的“或”是“排斥或”,例2中的“或”是“可兼或”,而析取指的是“可兼或”.還有一些漢語中的“或”字,實際不是命題聯結詞.

例3 他昨天做了二十或三十道習題.

這個例子中的“或”字,只表示了習題的近似數目,不能用聯結詞“析取”表達,例3是個原子命題.

(4)條件

定義1-2.4 給定兩個命題p和q,其條件命題是一個復合命題,記作p→q,讀作“如果p,那麽q”或“若p則q”.當且僅當p的真值為t,q的真值為f時, p→q的真值為f,否則p→q的真值為t.我們稱p為前件,q為後件.

聯結詞“→”的定義如表1-2.4所示.

表1-2.4

例1 如果某動物為哺乳動物,則它必胎生.
例2 如果我得到這本小說,那麽我今夜就讀完它.
例3 如果雪是黑的,那麽太陽從西邊出.

上述三個例子都可用條件命題p→q表達.

在自然語言中,“如果…”與“那麽…”之間常常是有因果聯系的,否則就沒有意義,但對條件命題p→q來說,只要p,q能夠分別確定真值, p→q即成為命題.此外,自然語言中對“如果…,則…”這樣的語句,當前提為假時,結論不管真假,這個語句的意義,往往無法判斷.而在條件命題中,規定為“善意的推定”,即前提為f時,條件命題的真值都取為t.

在數學上和有些邏輯學的書籍中,“若p則q”亦可叫作p蘊含q,而本書在條件命題中將避免使用“蘊含”一詞,因為在以後將另外定義“蘊含”這個概念.

命題聯結詞“→”亦可記作“é”.條件聯結詞亦是二遠運算.

(5)雙條件

定義1-2.5 給定兩個命題p和q,其復合命題p«q稱作雙條件命題,讀作“p當且僅當q”,當p和q的真值相同時, p«q的真值為t,否則p«q的真值為f.

聯結詞“«”的定義可如表1-2.5所示.

表1-2.5

例1 兩個三角形全等，當且今當它們的三組對應邊相等。

例2 燕子飛回南方，春天來了。

例3 2+2=4當且僅當雪是白的。

上面三個例子都可用雙條件命題p«q來表示。與前面的聯結詞一樣，雙條件命題也可以不顧其因果聯系，而只根據聯結詞定義確定真值。雙條件聯結詞亦可記作“«”或”iff“。它亦是二元運算。

離散數學 第一章 邏輯符號意義