題目描述

　　設\(f(i)\)為\(i\)的不同的質因子個數，求\(\sum_{i=1}^n2^{f(i)}\)

　　\(n\leq{10}^{12}\)

題解

　　考慮\(2^{f(i)}\)的意義：有\(f(i)\)總因子，每種可以分給兩個人中的一個。那麽就有\(2^{f(i)}=\sum_{d|i}[\gcd(d,\frac{i}{d})=1]\)

　　然後就是簡單莫比烏斯反演了。
\[ \begin{align} s&=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}[\gcd(d,\frac{i}{d})=1]\&=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\sum_{j|d\text{&&}j|\frac{i}{d}}\mu(j)\&=\sum_{i=1}^n\sum_{j^2|i}g(\frac{i}{j^2})\mu(j)\&=\sum_{j=1}^\sqrt{n}\mu(j)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{j^2}\rfloor}g(i)\&=\sum_{j=1}^\sqrt{n}\mu(j)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{j^2}\rfloor}\lfloor\frac{n}{j^2i}\rfloor \end{align} \]

代碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll p=998244353;
ll gao(ll x)
{
    ll s=0;
    ll i,j;
    for(i=1;i<=x;i=j+1)
    {
        j=x/(x/i);
        s+=(x/i)*(j-i+1);
    }
    return
 
 s;
}
int b[1000010];
int pri[1000010];
int cnt;
int miu[1000010];
int main()
{
    ll i,j;
    miu[1]=1;
    for(i=2;i<=1000000;i++)
    {
        if(!b[i])
        {
            pri[++cnt]=i;
            miu[i]=-1;
        }
        for(j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=1000000;j++)
        {
            b[i*pri[j]]=1;
            if
 
(i%pri[j]==0)
            {
                miu[i*pri[j]]=0;
                break;
            }
            miu[i*pri[j]]=-miu[i];
        }
    }
    ll ans=0;
    ll n;
    scanf("%lld",&n);
    for(i=1;i*i<=n;i++)
        ans=(ans+miu[i]*gao(n/(i*i)))%p;
    ans=(ans+p)%p;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

【XSY2719】prime 莫比烏斯反演