題目描述

　　有一個陶瓷瓶周圍有\(n\)個可以印花的位置。第\(i\)個與第\(i+1\)個位置之間的距離為\(d_i\)，在第\(i\)個位置印圖案要\(t_i\)秒。

　　機器剛開始在\(0\)號位置，可以以\(1\)單位長度每秒的速度移動。

　　一個位置只能印一個圖案。

　　現在有\(m\)秒，問你最多能印幾個圖案。

　　保證時間不足以繞陶瓷瓶一圈。

　　\(n\leq 100000\)

題解

　　肯定是先往一邊移動在移動到另外一邊。

　　不妨設先往右邊移動，那麽右邊的距離就要\(\times 2\)。

　　求出每邊印\(i\)個印花最少要多少秒。

　　然後把兩邊合並即可。

　　考慮怎麽求。

　　顯然印\(i+1\)

　　證明：考慮反證法。

　　設\(f(i,j)\)為印\(i\)個印花且最右端點為\(j\)的代價，\(a(i,j)\)為在前\(i\)個端點印印花所需要的第\(j\)短時間。

　　設印\(i\)個印花的最優方案所需要移動的最右端點為\(j\)，\(i+1\)個的右端點是\(k(k<j)\)

　　那麽有\(f(i,j)<f(i,k),a(j,i+1)<a(k,i+1),f(i+1,j)>f(i+1,k)\)

　　但是前兩項加起來是第三項，所以不合法。

　　然後就可以分治了。

　　設當前要求印\(l\)

　　先求出印\(mid=\frac{l+r}{2}\)個的答案和右端點位置\(k\)，可以通過枚舉右端點得到。

　　\([l,mid-1]\)的右端點位置在\([sl,k]\)，\([mid+1,r]\)的右端點位置在\([k,sr]\)

　　然後分治下去即可。

　　求前面\(i\)個位置最小的\(j\)個印印花的時間可以通過可持久化線段樹得到。

　　時間復雜度：\(O(n\log^2n)\)

代碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
 

#include<utility>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
int q;
char cc[10000010];
int tt;
int h[100010];
ll rd()
{
    ll s=0;
    int c;
    while((c=cc[tt++])<'0'||c>'9');
    s=c-'0';
    while((c=cc[tt++])>='0'&&c<='9')
        s=s*10+c-'0';
    return s;
}
namespace seg
{
    int ls[4000010];
    int rs[4000010];
    ll s[4000010];
    int sz[4000010];
    int cnt;
    int insert(int p1,int &x,int l,int r)
    {
        int p=++cnt;
        ls[p]=ls[p1];
        rs[p]=rs[p1];
        s[p]=s[p1]+h[x];
        sz[p]=sz[p1]+1;
        if(l==r)
            return p;
        int mid=(l+r)>>1;
        if(x<=mid)
            ls[p]=insert(ls[p],x,l,mid);
        else
            rs[p]=insert(rs[p],x,mid+1,r);
        return p;
    }
    ll query(int p,int x,int l,int r)
    {
        if(l==r)
            return (ll)x*h[l];
        int mid=(l+r)>>1;
        int lsz=sz[ls[p]];
        if(x<=lsz)
            return query(ls[p],x,l,mid);
        return s[ls[p]]+query(rs[p],x-lsz,mid+1,r);
    }
}
int rt[100010];
int n;
ll m;
ll d[100010];
int t[100010];
ll a[100010];
ll f1[100010];
ll f2[100010];
ll g1[100010];
ll g2[100010];
int b[100010];
int c[100010];
int e[100010];
int f[100010];
ll &mm=m;
void gao(int l,int r,int sl,int sr,ll *s)
{
    if(l>r)
        return;
    int mid=(l+r)>>1;
    ll ans=0x3fffffffffffffffll;
    int i;
    int m=sr;
    for(i=sl;i<=sr;i++)
        if(i>=mid&&a[i-1]<=mm)
        {
            ll v=a[i-1]+seg::query(rt[i],mid,0,q);
            if(v<ans)
            {
                ans=v;
                m=i;
            }
        }
    s[mid]=ans;
    gao(l,mid-1,sl,m,s);
    gao(mid+1,r,m,sr,s);
}
void gao(ll *s)
{
    memset(rt,0,sizeof rt);
    seg::cnt=0;
    int i;
    for(i=1;i<=n;i++)
        rt[i]=seg::insert(rt[i-1],c[i],0,q);
    gao(1,n,1,n,s);
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("a.in","r",stdin);
    freopen("a2.out","w",stdout);
#endif
    fread(cc+1,10000000,1,stdin);
//  scanf("%d%lld",&n,&m);
    n=rd();
    m=rd();
    int i;
    q=0;
    for(i=1;i<=n;i++)
//      scanf("%lld%lld",&d[i],&t[i]);
    {
        d[i]=rd();
        t[i]=rd();
        h[++q]=t[i];
    }
    sort(h+1,h+q+1);
    q=unique(h+1,h+q+1)-h-1;
    for(i=1;i<=n;i++)
        t[i]=lower_bound(h+1,h+q+1,t[i])-h;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        a[i]=d[i];
        c[i]=t[i];
    }
    for(i=1;i<=n;i++)
        a[i]+=a[i-1];
    gao(f1);
    for(i=1;i<=n;i++)
        a[i]*=2;
    c[1]=0;
    gao(g1);
    reverse(t+2,t+n+1);
    reverse(d+1,d+n+1);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        a[i]=d[i];
        c[i]=t[i];
    }
    for(i=1;i<=n;i++)
        a[i]+=a[i-1];
    gao(f2);
    for(i=1;i<=n;i++)
        a[i]*=2;
    c[1]=0;
    gao(g2);
    int ans=0;
    for(i=1;i<=n;i++)
        if(f1[i]<=m)
            ans=max(ans,i);
    for(i=1;i<=n;i++)
        if(f2[i]<=m)
            ans=max(ans,i);
    int j;
    j=n;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        while(j&&f1[i]+g2[j]>m)
            j--;
        if(!j)
            break;
        ans=max(ans,i+j-1);
    }
    j=n;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        while(j&&f2[i]+g1[j]>m)
            j--;
        if(!j)
            break;
        ans=max(ans,i+j-1);
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

【XSY2732】Decalcomania 可持久化線段樹 分治