連續數字異或和
求[1,n]所有數的異或和
如果加以打表，我們會發現其異或和有一定的規律
我們設f(x,y)表示區間[x,y]的異或和
那麽有
對於k>=1
\(f(2^k,2^{k + 1} - 1)\)中，最高位\(2^k\)的1出現了\(2^k\)次，異或和為0，所以最高位可以去掉
\(f(2^k,2^{k + 1} - 1) = f(2^k - 2^k,2^{k + 1} - 1 - 2^k) = f(0,2 ^ k - 1)\)
所以
\(f(0,2^{k + 1} - 1) = f(0,2^k - 1) Xor f(2^k,2^{k + 1} - 1) = 0\)
由此，對於所有\(k>=2\)
所以，對於\(f(0,n)\)，設其最高位為\(2^k\)
那麽\(f(0,n) = f(0,2^k - 1) Xor f(2^k,n) = f(2^k,n)\)
在\([2^k,n]\)中，最高位出現的次數取決與n的奇偶
1、若n為奇數，那麽最高位出現了\(n + 1\)次為偶數，可以去掉
\(f(2^k,n) = f(0,n - 2^k)\)，可以發現\(n - 2^k\)與n具有相同的奇偶性，可以利用同樣的推導去掉
最後\(f(0,n)\)的就取決於<4的部分，即mod 4後的異或和
那麽我們有：
如果n為奇數
若\(n \equiv 1 \pmod{4}\)
若\(n \equiv 3 \pmod{4}\)，\(f(0,n) = 0\)
2、若n為偶數，那麽最高位出現了\(n + 1\)次為奇數，一定可以保留
同樣的，\(f(2^k,n) = f(0,n - 2^k)\)，可以發現\(n - 2^k\)與n具有相同的奇偶性，可以利用同樣的推導去掉
最後\(f(0,n)\)的後兩位就取決於<4的部分
那麽我們有：
如果n為偶數
若\(n \equiv 0 \pmod{4}\)，\(f(0,n) = n\)
若\(n \equiv 2 \pmod{4}\)，\(f(0,n) = n + 1\)
這樣，我們就get了一個\(O(1)\)
若\(n \equiv 0 \pmod{4}\)，\(f(0,n) = n\)
若\(n \equiv 1 \pmod{4}\)，\(f(0,n) = 1\)
若\(n \equiv 2 \pmod{4}\)，\(f(0,n) = n + 1\)
若\(n \equiv 3 \pmod{4}\)，\(f(0,n) = 0\)
連續數字異或和