【BZOJ2437】【NOI2011】兔兔與蛋蛋（博弈論，二分圖匹配）
【BZOJ2437】【NOI2011】兔兔與蛋蛋（博弈論，二分圖匹配）
題面
BZOJ
題解
考慮一下暴力吧。
對於每個狀態，無非就是要考慮它是否是必勝狀態
這個直接用\(dfs\)爆搜即可。
這樣子對於每一次操作，考慮兔兔操作後的狀態是否是必勝狀態
如果這個狀態是必勝狀態，並且蛋蛋操作完後的狀態是（兔兔的）必敗狀態
那麽這就是一個“犯錯誤”的操作。
這樣暴力可以拿到\(75pts\)
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath> 觀察一下基本的事實。
考慮走的方案是否可能出現一個環。
無論環有多大，似乎都是一樣的，所以我們就考慮在\(2\times 2\)的方格中移動
初始時空格在\((1,1)\)，它和\((1,2)\)交換位置，此時，\((1,1)\)為白
然後\((1,2)\)和\((2,2)\)交換位置，\((1,2)\)為黑
\((2,2)\)和\((2,1)\)交換位置，\((2,2)\)為白
此時如果\((2,1)\)能與\((1,1)\)交換位置，那麽\((1,1)\)需要是黑色
但是\((1,1)\)是白色，所以顯然不能成環。
對於一個更大的環，無非是長\(+1\)或者寬\(+1\)拓展出來的，每次多走兩步，對於黑白沒有影響。
既然不能成環，意味著每個點只會被經過一次。
那麽，我們可以重新開一下這個過程，可以理解為從空格開始，
走一條路徑，路徑上黑白相間。
黑白相間？有點像二分圖的感覺。每條增廣路不就是黑白相間嗎？
因為先手的是白格子，所以可以把空格開成黑格子
這樣子就是要從這個黑格子這裏找一條增廣路出去。
再考慮一下勝利的情況，如果先手勝利，那麽從黑格子連向了一個白格子
然後找不到增廣路了，此時白格子勝。
繼續把這個情況向上拓展，我們可以得到。
如果當前點一定在二分圖的最大匹配中，那麽先手必勝。因為先手始終可以沿著最大匹配的匹配邊走，而最大匹配中交錯路的數量為奇數條，也就是進行奇數次操作，意味著後手最後無法操作，此時先手必勝。
那麽，每次進行判定當前點是否在二分圖的最大匹配中，是否一定被選中即可判定先手是否必勝，依次可以計算答案。
至於如何計算當前點是否一定在二分圖的最大匹配中？
把當前點給\(ban\)掉，在增廣的時候強行不選，然後對其匹配點進行增廣，
如果能夠找到新的增廣路，意為這當前點可以被替代，
否則當前點一定在最大匹配中。
這題好神仙啊
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define RG register
#define MAX 45
inline int read()
{
RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar();
while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return x*t;
}
int n,m,X,Y;
char ch[MAX];
int g[MAX][MAX],zt[MAX*MAX];
int d[4][2]={1,0,-1,0,0,1,0,-1};
int ans[MAX*MAX],top,Q;
int bh[MAX][MAX],tot;
struct Line{int v,next;}e[MAX*MAX<<3];
int h[MAX*MAX],cnt=1;
inline void Add(int u,int v){e[cnt]=(Line){v,h[u]};h[u]=cnt++;}
int match[MAX*MAX],tim,vis[MAX*MAX];
bool ban[MAX*MAX];
bool dfs(int u)
{
if(ban[u])return false;
for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
if(vis[e[i].v]!=tim&&!ban[e[i].v])
{
vis[e[i].v]=tim;
if(!match[e[i].v]||dfs(match[e[i].v]))
{
match[e[i].v]=u;match[u]=e[i].v;
return true;
}
}
return false;
}
int main()
{
n=read();m=read();
for(int i=1;i<=n;++i)
{
scanf("%s",ch+1);
for(int j=1;j<=m;++j)
if(ch[j]=='X')g[i][j]=1;
else if(ch[j]=='O')g[i][j]=0;
else if(ch[j]=='.')g[i][j]=1,X=i,Y=j;
}
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=m;++j)
bh[i][j]=++tot;
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=m;++j)
if(g[i][j])
for(int k=0;k<4;++k)
{
int x=i+d[k][0],y=j+d[k][1];
if(x<1||x>n||y<1||y>m||g[x][y])continue;
Add(bh[i][j],bh[x][y]);
Add(bh[x][y],bh[i][j]);
}
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=m;++j)
if(g[i][j])++tim,dfs(bh[i][j]);
Q=read();
for(int i=1,id;i<=Q+Q;++i)
{
id=bh[X][Y];ban[id]=true;
if(match[id])
{
int nw=match[id];match[nw]=match[id]=0;
++tim;zt[i]=!dfs(nw);
}
X=read();Y=read();
}
for(int i=1;i<=Q;++i)
if(zt[i+i-1]&zt[i+i])ans[++top]=i;
printf("%d\n",top);
for(int i=1;i<=top;++i)printf("%d\n",ans[i]);
return 0;
}【BZOJ2437】【NOI2011】兔兔與蛋蛋（博弈論，二分圖匹配）