一、引言

　　哈嘍大家好，今天要給大家講的是Floyd算法。在那之前，大家還記得我們上一章講的內容嗎，就是那個Dijkstra算法，用來解決從A點到B點的最短路徑問題。我們還給出了Matlab代碼。Floyd算法也是用來處理最短路徑問題的。它的理念跟Dijkstra有點不一樣，但是最終的結果是一樣的。Floyd算法主要是用到了動態規劃的思想。在這裏博主不打算講到很抽象很高深的東西（畢竟博主也不是專業的），僅僅通過比較通俗易懂的方式來給大家講解這個算法的思想（如果有問題大家幫忙指出來哈）。本文的圖片和思想，借用了https://blog.csdn.net/qq_34374664/article/details/52261672的博文

二、Floyd算法

　　首先，大家看上面的圖，暑假，小哼準備去一些城市旅遊。有些城市之間有公路，有些城市之間則沒有。為了節省經費以及方便計劃旅程，小哼希望在出發之前知道任意兩個城市之前的最短路程。我們用1-4來表示4個地點，並用箭頭和箭頭上的數字來表示一個地點到另一個地點的距離（註意，有些路是單向的）。這樣就得到下圖

　　現在，我們希望能求解出任意兩點的最短路徑及其距離。

　　好了，為了求解這個問題，我們先用一個二維的數組A

　　這個是怎麽數組填寫出來的呢，舉例來講吧，比如1號城市到2號城市的路程為2，則設A(1, 2)的值為2。2號城市無法到達4號城市，則設置A(2, 4)的值為$\infty$。另外此處約定一個城市自己是到自己的也是0，例如A(1, 1)為0。

　　現在問題是，如何求解任意兩個點的最短距離。我們可以這樣想，我們假設第$i$點和第$j$點的距離，應該就包括兩種情況：

　　1. $i$和$j$之間是直接相連的（即$i \rightarrow j$)；

　　2. $i$和$j$之間還有其他端點(即$i \rightarrow \cdot \cdot \cdot \rightarrow j$)；

　　上面兩句話什麽意思呢，我們先看下面這張圖：

　　我們現在比如說從地點$i$到地點$j$，我們可以直接走紅色路線，即$i \rightarrow j$；或者，走經過1（或者2或者經過1和2）的路線。即從地點$i$開始，先經過其他地點，再從其他地點到$j$，即$i \rightarrow \cdot \cdot \cdot \rightarrow j$

　　那麽，哪個才是最短距離呢。接下來就是算法的核心和重點了，大家註意啦！！

　　當任意兩點之間不允許經過第三個點時，這些城市之間最短路程就是初始路程，如下

　　（1）現在，如果我只允許經過1號頂點，求任意兩點之間的最短路程，該怎麽求呢？

　　由於只允許經過1號頂點，那任意兩點的路線不外乎只有兩種，即：

　　1. $i \rightarrow 1 \rightarrow j$

　　2. $i \rightarrow j$

　　要求最短路程，只要比較這兩個路線距離的大小即可。就是：

　　即

A(i, j) = min [A(i, j), A(i, 1) + A(1, j)]

　　在只允許經過1號頂點的情況下，任意兩點之間的最短路程更新為：

　　通過上圖我們發現：在只通過1號頂點中轉的情況下，3號頂點到2號頂點(A(3, 2))、4號頂點到2號頂點(A(4, 2))以及4號頂點到3號頂點(A(4, 3))的路程都變短了。

　　（2）接下來繼續求在只允許經過1和2號兩個頂點的情況下任意兩點之間的最短路程。如何做呢？

　　可以寫出公式：A(i, j ) = A(i, 1) + A(1, 2) + A(2, j)

　　根據（1）我們已經求出A(i, 1) + A(1, 2) = min [A(i, 2), A(i, 1) + A(1, 2)]。

　　故我們只需要在只允許經過1號頂點時任意兩點的最短路程的結果下，再判斷如果經過2號頂點是否可以使得$i$號頂點到$j$號頂點之間的路程變得更短。

　　即

A(i, j) = min [A(i, j), A(i, 2) + A(2, j)]

　　在只允許經過1和2號頂點的情況下，任意兩點之間的最短路程更新為：

function [D, path] = floyd(A)
% [D,PATH] = FLOYD(A)
% returns the distance and path between the start node and the end node.
%
% A: adjcent matrix
%% 初始化
%節點的數量n
D = A;
n = length(D);
path = zeros(n, n);
%% 初始化path
for i = 1: n
    for j = 1: n
        if D(i, j) ~= inf
            path(i, j) = j;
        end
    end
end
%% 記錄最短路徑與最短距離
for k = 1: n
    for i = 1: n
        for j = 1: n
            if D(i, j) > D(i, k) + D(k, j)
                D(i, j) = D(i, k) + D(k, j);
                path(i, j) = path(i, k);
            end
        end
    end
end

數學建模方法-Floyd算法