<題目鏈接>

<轉載於 >>> >

題目大意：
有n個鎖著的房間和對應n扇門的n把鑰匙，每個房間內有一把鑰匙。你可以破壞一扇門，取出其中的鑰匙，然後用取出鑰匙打開另一扇門（如果取出的鑰匙能打開房門則接著打開，取出其中鑰匙，如此往復，若打不開則繼續破壞一扇門）。最多可以破壞k（k<=n）扇門，但是編號為1的門只能用鑰匙打開。求能打開所有門（被破壞或是被鑰匙打開）的概率。

解題分析：

鑰匙和門的關系是成環狀的，打開一個門之後，該環內的所有房間都可以進入，怎麽說呢，就拿Hint裏的#6來舉例，Room1 Room2 Room3是在一個環當中的，假設我破壞了Room3，那麽我取出Room3內的鑰匙Key2就可以打開Room2，而Room2裏有鑰匙Key1，那我們又可以打開Room1。

因此，該題就轉化成了求N個房間形成1~K個環有多少種可能，然後除以總的分配方案數即為題目要我們求的概率。

首先，總的分配方案數是比較好求的，N的全排列N！種，因為N<=20，有可能超int型範圍，所以__int64或long long是必不可少的

其次就是求N個房間成i個環的種類數了，而第一類斯特林數S(N,K)=S(N-1,K-1)+(N-1)*S(N-1,k)恰恰就是求N個元素形成K個非空循環排列的方法數

剩下的就是枚舉形成的環，但是要排除掉編號為1的房間獨立成環的可能

S(N,M)-S(N-1,M-1)，表示N個元素形成M個環，減去1獨自成環，即剩下的N-1個元素形成M-1個環，算得的結果便是所求值

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define eps 1e-7
#define LL long long
using namespace std;
LL fac[21] = { 1 };
LL stir1[21][21];

void INIT()      
{
    for (int i = 1; i<21; i++)
        fac[i] = fac[i - 1] * i;    //計算階乘

    for (int
 
 i = 1; i <= 20; i++)   //計算stir數組,表示讓n個物品形成m個環的方案數
    {
        stir1[i][0] = 0;
        stir1[i][i] = 1;
        for (int j = 1; j<i; j++)
            stir1[i][j] = stir1[i - 1][j - 1] + (i - 1)*stir1[i - 1][j];
    }
}

int main()
{
    INIT();
    int t, n, k;
    scanf("%d", &t);
    while (t--) {
        scanf("%d%d", &n, &k);
        if (n == 1 || k == 0)
        {
            printf("0.0000\n");
            continue;
        }
        LL sum = 0;
        for (int i = 1; i <= k; i++)
            sum += stir1[n][i] - stir1[n - 1][i - 1];       //減去第一個門獨立成環的情況
        printf("%.4f\n", (double)sum / fac[n]);
    }
    return 0;
}

2018-08-12

HDU 3625 Examining the Rooms【第一類斯特靈數】