PS：如果你覺得自己還不夠強(和我一樣弱)，可以去入門版看看

寫在前面的話(潦草)

• 這篇博客不會講定義，理解啊什麽的，那些知識點網絡上......僅僅是題目詳講
  但是每一道題的題解和知識點還是會涵蓋的
• 筆者還很菜，還有很多不會，只是想讓自己會了的題目大家更容易懂
• 建議使用博客右邊的主題切換，換成夜間模式可能看起來更舒服(隨性)
• 筆者根據自己的感受(也有一定參考性的)給題目編了個難度，有主觀色彩，可以根據實際需要來選擇

前置知識點：

網絡流題目詳講(入門版)

題目來了：

PS:若無特殊說明，均為luogu上的題目，難度有標記

網絡最大流/一般增廣路(Dinic&EK)

• [X] ☆☆☆最小路徑覆蓋問題(網絡流24題)(其實有些地方把這個模型當板子了......)

  1. 首先需要看懂題目(沒錯，我看了很久)，是讓很多條不相交的路徑去覆蓋所給的圖，問最少要多少條並輸出它們。
  2. 然後需要證明一個東西：我們一開始把每個點看做一條路徑，考慮路徑合並的問題，每兩條路徑首尾相連接起來是不是路徑數就會減一？(顯然)。而我們會要盡量減少它們的數量。
  3. 想一下怎麽可以求出點可以連起來的路徑的數量最小值，根據上面2提到的那一點，我們就可以考慮把可以合並的點數全部求出來，再拿總點數去減，是不是就是我們要求的答案了？
     那麽問題就轉化為了求哪些點可以“合並”。然後再往後看，嗯，標簽是網絡流，就考慮建圖跑吧。
  4. 有了上面的基礎應該就不難想了，把每個點分開成兩個，X[i]與源點S連容量為1的邊，Y[i]與匯點T連容量為1的邊(每個點只能在一條路徑上)，然後數據讀入的邊X[i] --1--> Y[j]這個毋庸置疑了吧。最後跑Dinic求最大流就行了就行了(我建議把樣例的圖根據我講的畫出來容易理解，其實不難)
  5. 最後考慮怎麽輸出路徑，很容易想到，在Dinic的DFS過程中可以記錄每個點流向的那個點(就是會在原圖上相連的點，標記一下每一條“輸出邊”的開頭位置，暴力跳著輸出就ok)
     實在不行還是一邊看代碼吧

• [X] ☆☆☆☆☆奶牛隱藏(最大流(費用流是錯的))

  這道題要講的話真的太累了，而且不想放圖也很難講懂，所以......(敬請諒解)
  但是相信我，同機房有個神犇Flash Hu巨佬在洛谷裏發了一篇題解，講的賊JB好
  這裏再提供他的博客地址(打個廣告yeh)：https://www.cnblogs.com/flashhu/

• [ ] 最長不下降子序列問題(網絡流24題)

費用流

• [X] ☆☆☆☆☆洞穴遇險

  1. 難度很大，我一開始並不會做，聽了zkj的講解才會做的(我是真的弱)
  2. 首先必須要想盡一切辦法把那個三角柱抽象成一條路徑(從一個端點進經過轉口(支撐部位)再從另一個端點出)，抽象完之後會好理解很多......
  3. 一個不需要腦子的地方：我們的三角柱轉角肯定放在i+j為奇數的地方
  4. 開始建圖：(i+j為奇數簡稱奇數點，偶數點同理)
     首先，我很不幸地告訴你，這個題目要把點排成四列，而且......我理解了很久才懂

• 首先奇數點和偶數點肯定是要分開的對吧(毋庸置疑)，那麽我將會把奇數點和偶數點分別排成兩列(先別問為什麽，網絡流的建邊從來沒有為什麽，都是套路，對了就行)
• 然後奇數點肯定要拆點(因為會產生貢獻，所以要對自己連邊)，我們把這兩列放在四列點的中間兩列(說了抽象成路徑，奇數點是要在石頭的轉角處被經過的，路徑中間)
• 偶數點的話 (PS：不管我bb什麽，這段話都是偶數點)：
  你會發現一個性質："石頭"路徑肯定是從一個奇數列(或者偶數列)上的偶數點連到歐數列上的另一個偶數點(奇數點)，總之就是起點和終點的列數奇偶不同(yeh，簡單明了)，所以把奇數列的點放在左邊(放右邊是一樣的)，再把偶數列放在右邊，我們就強制好了出口和入口(左右是對稱的，沒有區別)

• 考慮連邊：
  ①首先，上面已經說過了，中間的兩列奇數點分別自己對自己連一條流量為1，費用為點權的邊
  ②其次，對於所有的偶數點，從源點向第一列每個點連一條流量為1費用為0的邊，從第四列向匯點連一條流量為1費用為0的邊
  ③最後，相鄰的點肯定要連邊對吧，從第一列向這個點在圖上相鄰的點(一定在第二列中的)連容量為1，費用為0的邊，第三列向第四列連邊也同理

1. 不用想了，套板子，跑一個最大費用最大流，最後拿所有點的點權之和減掉就是答案了(因為我們求得的是最大覆蓋住多少)
2. 你問我要代碼？不行，得讓你先經歷痛苦，再去看洛谷的題解的代碼吧
   (其實就是碼的太醜了怕丟人)

預流推進算法(一種新的很吊的求最大流的方法，據說非常優秀)

網絡流題目需要註意的地方

PS：代碼尚未過編譯，現場手打的，有錯誤請指出
PS：有些淩亂，湊合著看

Part1 一定要記得

1. 建邊時的"反邊容量0"和"反邊費用負"

il void add(rg int p,rg int q,rg int o,rg int w)
{//o為容量，w為費用(變量醜)
    ljl[++cnt]=(EDGE){q,hd[p],o, w},hd[p]=cnt;
    ljl[++cnt]=(EDGE){p,hd[q],0,-w},hd[q]=cnt;
}

2. EK算法記錄前驅並處理情況的跳點情況

    int flow=Inf;
    for(int i=T;i!=S;i=ljl[pre[i]^1].to)
        flow=min(flow,ljl[pre[i]].c);
    tot+=flow,ans+=flow*dis[T];
    for(int i=T;i!=S;i=ljl[pre[i]^1].to)
        ljl[pre[i]].c-=flow,ljl[pre[i]^1].c+=flow;

3. 當前弧優化記得每次都要重新賦值cur

while(BFS())
{
    for(int i=1;i<=n;++i)cur[i]=hd[i];//<--
    while(lst res=dfs(1,n,Inf))ans+=res;

4. 跑Dinic分層時dep[S]一定要賦值為1，不然死循環

    Q.push(S),dep[S]=1;//<--

5. 增廣路時數組清零(還有數組的邊界)

其實邊界的話，我一般把S放在0號節點，T放在最後的節點，循環的時候就會順手很多

    //Dinic的BFS
    for(int i=S;i<=T;++i)dep[i]=0;//<--
    
    //費用流的SPFA
    for(int i=S;i<=T;++i)dis[i]=Inf;//<--跑最大費用則為-Inf
    while(!Q.empty())Q.pop();
    dis[S]=0,Q.push(S),in[S]=1;

6. 費用流和最大流都可以跑環

Part2 技巧

看看xzy吧，很詳細的

網絡流題目詳講+題單(提高版)(持續更新中......)