題目描述

稱一個1,2,...,N的排列P1,P2...,Pn是Magic的，當且僅當2<=i<=N時，Pi>Pi/2. 計算1，2，...N的排列中有多少是Magic的，答案可能很大，只能輸出模P以後的值

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輸入文件的第一行包含兩個整數 n和p，含義如上所述。

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輸出文件中僅包含一個整數，表示計算1,2,?, ???的排列中， Magic排列的個數模 p的值。

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說明

100%的數據中，1 ≤N ≤ 10^6, P≤ 10^9，p是一個質數。

題解

　數位dp？這怕不是個樹位dp……

　　我們把原序列看成一棵二叉樹

　　那麽就是要我們求大小為$n$的小根堆有多少個（就是父節點比左右兒子都小）

　　那麽考慮dp，設$dp[i]$表示有多少個大小為$i$的小根堆，$val[i]$表示$i$的子樹的大小

　　因為父親必須小於兒子，所以根節點只能是最小的點，那麽剩下的$i-1$個點裏有$val[l]$個可以放在左子樹，剩下的都可以放在右子樹，方案數為$C_{i-1}^{val[l]}$

　　然後因為選不同的點之後還能有不同的方案，所以還要乘上方案數

　　所以最後的狀態轉移方程是這樣的$dp[i]=C_{i-1}^{val[l]}*dp[val[l]]*dp[val[r]]$

　　然後因為要組合數取模，得用上Lucas定理

 1 //minamoto
 2 #include<cstdio>
 3 #define ll long long
 4 const int N=1e6+5;
 5 ll inv[N],fac[N],val[N],dp[N],n,mod;
 6 #define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
 7 ll qpow(ll x,ll y){
 8     ll res=1;
 9     while(y){
10         if(y&1) res=res*x%mod;
11
 
         y>>=1,x=x*x%mod;
12     }
13     return res;
14 }
15 void init(){
16     int k=min(n,mod-1);
17     fac[0]=fac[1]=1;
18     for(int i=2;i<=k;++i) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
19 
20     inv[k]=qpow(fac[k],mod-2);
21     for(int i=k-1;i;--i) inv[i]=(i+1)*inv[i+1]%mod;
22 }
23 ll C(ll n,ll m){
24     if(m>n) return 0;
25     return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
26 }
27 ll Lucas(ll n,ll m){
28     if(m==0||m==n) return 1;
29     return Lucas(n/mod,m/mod)*C(n%mod,m%mod)%mod;
30 }
31 int main(){
32     //freopen("testdata.in","r",stdin);
33     scanf("%lld%lld",&n,&mod);init();
34     for(int i=n;i;--i){
35         val[i]=1;if((i<<1)<=n) val[i]+=val[i<<1];if((i<<1|1)<=n) val[i]+=val[i<<1|1];
36         if((i<<1|1)<=n) dp[i]=Lucas(val[i]-1,val[i<<1])*dp[i<<1]%mod*dp[i<<1|1]%mod;
37         else if((i<<1)<=n) dp[i]=dp[i<<1];
38         else dp[i]=1;
39     }
40     printf("%lld\n",dp[1]);
41     return 0;
42 }

洛谷P2606 [ZJOI2010]排列計數（數位dp）