後繼和前驅

定義：一個結點的後繼，是大於x.key的最小關鍵字的結點。

一個結點的前驅，是小於x.key的最大關鍵字的結點。

思路：找一個結點的前驅或者後繼，無非是在三個區域找。

首先分析前驅：

滿足兩個條件，一是要小於當前鍵值，那麽只有LP和LS區可以找。

二要求是其中最大的值。我們知道，對於LP來說，X、LS、RS都屬於他的右子樹，那麽，X、LS和RS都是大於它的。

所以很顯然，前驅就是LS中的最大值，即前驅 = 左子樹中的最大值。條件是：存在左子樹。

那不存在左子樹只有左父母的情況呢？

那只能在LP上找了，LP也具有兩部分，第一部分是LP的LS，LP的LS雖然滿足小於X的條件，但是LP的LS中所有元素都是小於LP的，所以至少也是LP。

還有一部分，LP可能有左父母或者右父母，顯然，右父母大於他的所有左子樹，包括X，條件一都不滿足，顯然不行。左父母小於LP，所以它競爭不過LP。

所以最終結論就是，在只有左父母，沒有左子樹的情況，前驅 = 左父母的值。

那不存在左子樹和左父母的情況呢？

那就只剩下右子樹和右父母了，顯然，右子樹肯定不行，它的所有元素都大於X。那就只能在右父母中找了，畢竟雖然右父母大於它，但是右父母也有左/右父母和右子樹。

右父母的右父母，和右子樹都不行，都大於右父母本身，更大於X了。那就只能在右父母的左父母上找了，對於左父母來說，他的右子樹全都大於他，即包括X的右父母和X，所以，此時找到的左父母就是我們的前驅。

所以，不存在左子樹和左父母的情況，前驅 = 右父母的左父母（如果右父母不存在左父母，就一直往上遍歷，直至出現左父母）。

分析完畢。下面是代碼實現。

因為我們的二叉樹的結點只有Left和Right指針，所以這題感覺要用遞歸來做，或者棧。下面我們用棧寫一個吧（時間復雜度是O（N））

BinTree Predecessor(BinTree X,BinTree BST)
{
    if(X->Left!=NULL)
        return FindMax(X->Left);
    else
    {
        Stack S;
        S = CreatStack();
        while(BST!=X)
        {
            Push(S,BST);
            
 
if(X->Data > BST->Data)
                BST = BST->Right;
            else if(X->Data < BST->Data)
                BST = BST->Left;
        }
        BinTree Par,Son;
        Son = X;
        while((Par = Pop(S))->Right!=Son)Son = Par;//相當於Case2&3結合，直至找到左母親為止。
        return Par;
    }
}

插播一個遞歸和棧的區別：

接著分析後繼：（類比前驅，如果前驅看懂了可以不用看，基本上是一樣的分析思路）

滿足兩個條件，一是要大於當前鍵值，那麽只有RP和RS區可以找。

二要求是其中最小的值。我們知道，對於RP來說，X、LS、RS都屬於他的左子樹，那麽，X、LS和RS都是小於它的。

所以很顯然，前驅就是RS中的最小值，即後繼 = 右子樹中的最小值。條件是：存在右子樹。

那不存在右子樹只有右父母的情況呢？

那只能在RP上找了，RP也具有兩部分，第一部分是LP的RS，RP的RS雖然滿足大於X的條件，但是RP的RS中所有元素都是大於LP的，所以找後繼，至少也得是RP。

還有一部分，RP可能有左父母或者右父母，顯然，左父母小於他的所有右子樹，包括X，條件一都不滿足，顯然不行。右父母大於RP，所以它競爭不過RP。

所以最終結論就是，在只有右父母，沒有右子樹的情況，後繼 = 右父母的值。

那不存在右子樹和右父母的情況呢？

那就只剩下左子樹和左父母了，顯然，左子樹肯定不行，它的所有元素都小於X。那就只能在左父母中找了，畢竟雖然左父母小於它，但是右父母也有它本身的左/右父母和左子樹。

左父母的左父母，和左子樹都不行，都小於左父母本身，更小於X了。那就只能在左父母的右父母上找了，對於它的右父母來說，他的左子樹全都小於他，即包括X的左父母和X，所以，此時找到的右父母就是我們的後繼。

所以，不存在右子樹和右父母的情況，後繼 = 左父母的右父母（如果左父母不存在右父母，就一直往上遍歷，直至出現右父母）。

分析完畢。下面是代碼實現，同樣是用棧實現。

BinTree Successor(BinTree X,BinTree BST)
{
    if(X->Right)
        return FindMin(X->Right);
    else
    {
        Stack S;
        S = CreatStack();
        while(BST!=X)
        {
            Push(S,BST);
            if(X->Data > BST->Data)
                BST = BST->Right;
            else if(X->Data < BST->Data)
                BST = BST->Left;
        }
        BinTree Par,Son;
        Son = X;
        while((Par = Pop(S))->Left!=Son )Son = Par;
        return Par;
    }
}

基本上是一樣的。

二叉搜索樹的前驅和後繼詳細推導