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題意簡述

你有一個n+1個數的序列，都是1~n，其中只有一個有重復，求每個長度的本質不同的子序列個數。\(mod 1e9+7\)。

sol

說起來也很簡單，設相同的數出現的位置為\(l\)和\(r\)。那麽除了去掉\(r\)之後\(n\)個數的貢獻，還有算上\(r\)的貢獻，然後就可以了。原本\(n\)個的貢獻是\(\binom{n}{i}\)，加上\(r\)的貢獻的話要滿足在\([l,r-1]\)之間至少要選一個數，然後還要選\(r\)，那麽考慮將原序列(去除\(r\))分成三段，\([1,l-1],[l,r-1],[r+1,n+1]\)，可以枚舉長度，發現是一個卷積，於是可以愉快的NTT辣，然後模數是\(1e9+7\)

md不管蒯一個三模數NTT暴力艹過去。總復雜度 $ O(nlogn) $ 。其實好像有 $ O(n) $ 做法，但我懶得想。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define gt getchar()
#define ll long long
#define maxn 400005
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
#define Set(a) memset(a,0,sizeof a)
using std::swap;
using std::reverse;
inline int in()
{
    int k=0;char ch=gt;
    while(ch<'-')ch=gt;
    while(ch>'-')k=k*10+ch-'0',ch=gt;
    return k;
}
int pr[]={469762049,998244353,1004535809};
const int md=1e9+7,YL=md;
inline ll ksm(ll a,ll b,ll p)
{
    ll r=1;a%=p;
    while(b){if(b&1)r=r*a%p;a=a*a%p,b>>=1;}
    return r;
}
int R[maxn];
struct FFT
{
    int G,P,A[maxn];
    void NTT(int* a,int n,int f)
        {
            for (int i=0;i<n;i++)if(i<R[i])swap(a[i],a[R[i]]);
            for (int i=1;i<n;i<<=1)
            {
                int gn=ksm(G,(P-1)/(i<<1),P);
                for(int j=0;j<n;j+=(i<<1))
                {
                    int g=1,x,y;
                    for (int k=0;k<i;k++,g=1ll*g*gn%P)
                    {
                        x=a[j+k],y=1ll*g*a[j+k+i]%P;
                        a[j+k]=(x+y)%P,a[j+k+i]=(x+P-y)%P;
                    }
                }
            }
            if(f==1)return;
            int nv=ksm(n,P-2,P);reverse(a+1,a+n);
            for(int i=0;i<n;i++)a[i]=1ll*a[i]*nv%P;
        }
}fft[3];
int F[maxn],G[maxn],B[maxn],deg1,deg2,deg;
ll ans[maxn];
ll inv(ll n,ll p){return ksm(n % p,p - 2,p);}
ll mul(ll a,ll b,ll p)
{
    ll re=0;
    for(;b;b>>=1,a=(a+a)%p)
        if(b&1)re=(re+a)%p;
    return re;
}
void CRT()
{
    deg=deg1+deg2;
    ll a,b,c,t,k,M=1ll*pr[0]*pr[1];
    ll inv1=inv(pr[1],pr[0]),inv0=inv(pr[0],pr[1]),inv3=inv(M%pr[2],pr[2]);
    for(int i=0;i<=deg;i++)
    {
        a=fft[0].A[i],b=fft[1].A[i],c=fft[2].A[i];
        t=(mul(a*pr[1]%M,inv1,M)+mul(b*pr[0]%M,inv0,M))%M;
        k=((c-t%pr[2])%pr[2]+pr[2])%pr[2]*inv3%pr[2];
        ans[i]=((k%md)*(M%md)%md+t%md)%md;
    }
}
void pre()
{
    int n=1,L=0;
    while(n<=(deg1+deg2))n<<=1,L++;
    for (int i=1;i<n;i++)R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
    for (int u=0;u<=2;u++)
    {
        fft[u].G=3;fft[u].P=pr[u];
        for(int i=0;i<=deg1;i++)fft[u].A[i]=F[i];
        for(int i=0;i<=deg2;i++)B[i]=G[i];
        for(int i=deg2+1;i<n;i++)B[i]=0;
        fft[u].NTT(fft[u].A,n,1);fft[u].NTT(B,n,1);
        for(int i=0;i<n;i++)fft[u].A[i]=1ll*fft[u].A[i]*B[i]%pr[u];
        fft[u].NTT(fft[u].A,n,-1);
    }
}
void get_mul(int *a,int *b,int *c,int n,int m)
{
    deg1=n;deg2=m;
    for(int i=0;i<=deg1;++i)F[i]=a[i];
    for(int i=0;i<=deg2;++i)G[i]=b[i];
    pre();CRT();
    for(int i=0;i<=deg;++i)c[i]=ans[i];
}
const int N=1e6+7;
inline int ksm(int a,int k){int r=1;while(k){if(k&1)r=1ll*a*r%YL;a=1ll*a*a%YL,k>>=1;}return r;}
int fac[N],fnv[N],ma[N],as[N];
inline int C(int x,int y){return y>x?0:1ll*fac[x]*fnv[y]%YL*fnv[x-y]%YL;}
inline int MO(const int &a){return a>=YL?a-YL:a;}
int a[N],b[N],c[N];
int main()
{
//  File("conut");
    int n=in();fac[0]=fnv[0]=1;
    for(int i=1;i<=n+1;++i)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%YL;
    fnv[n+1]=ksm(fac[n+1],YL-2);
    for(int i=n;i;--i)fnv[i]=1ll*fnv[i+1]*(i+1)%YL;
    int l=1,r=n+1;
    for(int i=1,u;i<=n+1;++i)
    {
        u=in();
        if(ma[u])l=ma[u],r=i;
        ma[u]=i;
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)as[i]=C(n,i);
    int l1=l-1,l2=r-l,l3=n-r+1;
    for(int i=0;i<=l1;++i)a[i]=C(l1,i);
    for(int i=1;i<=l2;++i)b[i]=C(l2,i);
    get_mul(a,b,b,l1,l2);
    Set(a),Set(ans),Set(F),Set(G),Set(fft);
    for(int i=0;i<=l3;++i)a[i]=C(l3,i);
    get_mul(a,b,b,l3,l1+l2);
    for(int i=1;i<=n;++i)as[i+1]=MO(as[i+1]+b[i]);
    for(int i=1;i<=n+1;++i)printf("%d\n",as[i]);
    return 0;
}
 

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