\(des\)
給定 \(n\) 的全排列 + 一個值域屬於 \([1, n]\) 的元素構成長度為 \(n + 1\) 的序列
問長度為 \(i\) 的本質不同的子序列的個數

\(sol\)
小學計數題
記 \(p + 1, q - 1\) 的元素相同
從起點到第一個相同元素長度 \(p\)
從終點到第二個相同元素長度 \(q\)
對於長度為 \(i\) 的本質不同的子序列的個數
可以用全部的答案 - 出現重復的個數
顯然全部的答案 \(n + 1 \choose i\)
對於重復的答案，只存在於重復的元素存在於挑選的元素中的時候
這樣的話，挑選的元素只剩下 \(i - 1\) 個
枚舉在 \([1, p]\)

時間復雜度 \(O(nlogn)\)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, Mod = 1e9 + 7;

#define gc getchar()

inline int read() {int x = 0; char c = gc;while(c < '0' || c > '9') c = gc;
while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = gc; return x;}

#define LL long long
#define Rep(i, a, b) for(int i = a; i <= b; i ++)

LL fac[N] = {1};
bool vis[N];
LL n, a[N];
LL q, p;

LL Ksm(LL a, LL b) {
    LL ret = 1;
    while(b) {if(b & 1) ret = ret * a % Mod; a = a * a % Mod; b >>= 1;}
    return ret;
}

LL C(LL n_, LL m) {
    if(n_ < m || m == 0) return 0;
    return (fac[n_] * Ksm(((fac[m] * fac[n_ - m]) % Mod), Mod - 2)) % Mod;
}

int main() {
    n = read();
    Rep(i, 1, n + 1) fac[i] = (fac[i - 1] * i) % Mod;
    Rep(i, 1, n + 1) {
        a[i] = read();
        if(vis[a[i]]) {
            p = n + 1 - i;
            Rep(j, 1, i) if(a[j] == a[i]) {q = j - 1; break;}
            break;
        }
        vis[a[i]] = 1;
    }
    Rep(i, 1, n + 1) {
        LL a = C(n + 1, i), b = C(q + p, i - 1);
        LL Answer;
        if(i == 1) Answer = a - b - 1;
        else Answer = a - b;
        if(Answer < 0) Answer += Mod;
        cout << Answer << "\n"; 
    }
    return 0;
}
 

noi.ac #45 計數