二分圖相關

二分圖，兩個等價定義：沒有奇環的圖 / 可以黑白染色的圖

證明：

充分性證明：如果一張圖沒有奇環，那麽它可以黑白染色

考慮反證，如果它不能黑白染色，那麽存在奇環

一定存在一條邊\((u, v)\)，使得\(u, v\)同時為白色

\((u, v)\)一定在環中，如果不在，考慮\(dfs\)構造，那麽\((u, v)\)不可能是同一顏色

如果\((u, v)\)所在環是一個偶環，那麽取反\(u\)後，原圖合法，不符合無法染色的條件

因此，\((u, v)\)所在環一定是一個奇環

必要性證明：如果一張圖可以黑白染色，那麽它沒有奇環

考慮逆否命題，如果它有奇環，那麽它一定不能黑白染色

單獨考慮這個奇環，設其中一點顏色為白，那麽繞著奇環走一圈，會經過奇數條邊回到它自身，此時它必須是黑色才能滿足條件

這不可能，因此必要性成立

匹配：邊形成的子集，這些邊沒有公共頂點

匈牙利算法

在匹配中的邊稱為匹配邊，其余邊稱為非匹配邊

和匹配邊相鄰匹配點，否則稱為非匹配點

交錯路：匹配邊和非匹配邊彼此相間的道路

增廣路：兩端都為非匹配點的交錯路

取反交錯路後，匹配數不會變少

取反增廣路後，匹配數會 + 1

增廣路引理：如果從一個未匹配點出發找不到增廣路，那麽存在一個最大匹配，這個最大匹配不包含這個點

（某大佬說它需要一個名字

證明：

考慮構造一個匹配\(M\)，這個\(M\)中存在一個未匹配點\(u\)，\(u\)沒有增廣路

假設這張圖的一個最大匹配為\(M'\)

那麽，如果\(u\)不在\(M'\)

如果\(u\)在\(M'\)中是匹配點，那麽設\(u\)的匹配點為\(v\)

考慮\(v\)，如果\(v\)的出邊中有一條連向非匹配點，那麽取反這條交錯路，得證

否則，因為\(u\)在\(M\)中沒有增廣路，因此\(v\)在\(M\)中有匹配點\(u'\)，且\(u'\)在\(M'\)中也是匹配點

考慮\(u'\)，如果\(u'\)的出邊中有非匹配點，那麽存在增廣路，\(M\)不是最大匹配

否則，考慮\(u'\)在\(M'\)中的匹配點\(v'\).....

依次類推

如果沒有在中間找到一條交錯路

由於\(u\)

但是在\(M'\)中，\(u\)到\(u_1\)形成了一條增廣路，這不可能

因此，一定會在中間的過程中找到一條交錯路，使得交錯之後的最大匹配\(M_1\)不含\(u\)

增廣路定理：如果圖上不存在增廣路，當且僅當匹配為最大匹配

證明：

必要性證明：如果原圖為最大匹配，那麽圖上不存在增廣路

如果有增廣路，那麽匹配可以+1，不符合最大匹配

充分性證明：如果圖上不存在增廣路，那麽原圖為最大匹配

對於所有的未匹配點而言，都找不到增廣路，對它們依次使用增廣路引理

最終，剩下的點只含匹配點，且根據增廣路引理，它是最大匹配

算法

根據增廣路引理，我們知道：

如果從一個點出發找不到增廣路，那麽刪除它仍然有最大匹配

因此，我們可以考慮對每個點依次嘗試尋找增廣路，如果一個點找到了增廣路，那麽最大匹配+1

bool dfs(int o) {
    for(int i = cap[o]; i; i = nxt[i]) {
        int cur  = node[i];
        if(!vis[cur]) {
            vis[cur] = 1;
            if(!mat[cur] || dfs(mst[cur]))
            { mat[cur] = o; return 1; }
        }
    }
    return 0;
}

int Match() {
    int ret = 0;    
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    ret += dfs(i);
    return ret;
}

獨立集：點形成的子集，這些點沒有公共邊

團：點形成的子集，這些點兩兩有連邊

覆蓋：點形成的子集，每條邊至少有一個端點入選

支配集：點形成的子集，每個點至少有一條邊與集合相連或者在集合中

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