數列極限四則運算誤區
數列極限的四則運演算法則有這麼一條：<br>
$$\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n+b_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}a_n+\lim_{n\rightarrow\infty}b_n$$
運用上面的法則，來看下面這道題：<br>
$$\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{\sqrt {n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt {n^2+2}}+...+\frac{1}{\sqrt {n^2+n}})$$
很自然的，我們有：原式＝
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+...+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}=0+0+...+0=0$$
一切看上去似乎毫無任何破綻，有破綻嗎？<br>
我們知道，數列極限的性質中，有一個“迫斂性定理”，也叫作“夾逼準則”，是這樣敘述的：<br>
> 設收斂數列${a_n},b_n$都以$a$為極限，數列$c_n$滿足：存在正數$N_0$，當$n>N_0$時有$a_n<=c_n<=b_n$，則數列$c_n$收斂，且$\lim_{n\rightarrow\infty}{c_n}=a$.
運用迫斂性定理，再次計算上題：<br>
$$1=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{\sqrt {n^2+n}}+\frac{1}{\sqrt {n^2+n}}+...+\frac{1}{\sqrt {n^2+n}})<\\\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{\sqrt {n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt {n^2+2}}+...+\frac{1}{\sqrt {n^2+n}})\\<\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{\sqrt {n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt {n^2+1}}+...+\frac{1}{\sqrt {n^2+1}})=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}=1$$
此時得到的答案是１.<br>
事實上，**這道題的答案就是１**，那麼第一種解法在哪裡出問題了呢？<br>
仔細觀察題幹，當$n\rightarrow\infty$時，括號裡面的項數會隨之增加到無窮多項，從而題目就等價於求解**無窮多個無窮小之和**，這是**極限的未定式**的一種，叫做$\infty*0$型，這類式子（即“未定式”）的極限不確定，可以是0，是其他數，也可以不存在，它的極限不一定等於0，也就不滿足四則運演算法則，所以解法１不可行.<br>
下面的栗子同樣如此：<br>
$$1=\lim_{n\rightarrow\infty}1=\lim_{n\rightarrow\infty}n\frac{1}{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}+...+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0+0+...+0=0$$
當把１拆成$n$個$\frac{1}{n}$之和時，$\frac{1}{n}$的個數會隨著$n\rightarrow\infty$而趨於$\infty$，這也是上面的$\infty*0$未定式型.<br>
通過這個栗子，我們要謹記：**極限的四則運演算法則只對有限項成立，當推廣到無限項時則不一定成立，因為此時會出現未定式，而未定式不能使用四則運算.**<br>
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現在來總結下極限的７種未定式，它們分別是：<br>
（1）0/0
（2）∞/∞
（3）0·∞（栗子）
（4）∞-∞
（5）0^0
（6）∞^0
（7）1^∞
對於這些未定式，都不能運用極限的四則運算！<br>
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寫了一大堆，其實最初的想法來源是陳紀修老師的教材上的一道題，現在來一起看一下這道題：<br>
* 設$a_n>0$，$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a$，求證$\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$
<br>
在第一個證明的倒數第二行，即
$$\lim_{n\rightarrow\infty}｜\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}-a｜=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(a_1-a)+(a_2-a)+...+(a_n-a)}{n}=0$$
這裡計算出來的那個０，並不是運用四則運演算法則將其拆開，因為這裡也是有無窮多項，雖然拆開計算的結果也是０，但是這只是巧合罷了，正確的做法是：<br>
由已知$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a$，並且在前一步已經證明了當$a=0$時，$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}=0=a$，即**$a_n$**是無窮小量時所證引理結論成立.<br>
而當$a!=0$時，$a_n-a$便是無窮小量（理由：在題幹中，將已知的$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a$中的$a$移到左側即得$\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n-a)=0$)，既然$a_n-a$是無窮小量了，那就可以套用剛剛證明的結論了（這個結論通俗點說就是：若$a_n$的極限是$a$，**如果$a_n$是無窮小量**，即$a=0$，**則有$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}=a=0$，用的就是它等於０這一點）**，現在的無窮小量是$a_n-a$，那麼就應該有$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(a_1-a)+(a_2-a)+...+(a_n-a)}{n}=0$.