數列極限定義的理解
高數書上邊的定義如下：
設{}為一數列，如果存在常數a，對於任意給定的正數ε（不論它多麼小），總存在正整數N，使得當n>N時，不等式
|-a|<ε都成立，那麼就稱常數a是數列{
}的極限，或者稱數列{
}收斂於a,記為
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這個我們初學數學分析的時候都遇到過這種不理解的感覺。其實真的很容易解釋。
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首先講一講歷史，極限的概念剛出來的時候，是不嚴密的，牛頓那個年代的以及之後有很多人都認為，求極限，這是很詭異的東西。這引起了一場數學危機。去看看尤拉的經典，有本書就叫《無窮小分析》。極限這個概念貫穿了整個分析學，這是一個基礎的概念，為了使這個概念嚴密起來，多位數學家對此做出了貢獻，現在我們最常用的，也就是樓主說的那個定義是威爾斯特拉斯提出的，講極限，建立在無可爭議的算數的基礎之上。
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也就是說，這是極限的算術化。
於是現在我們來這麼理解這個定義：
首先，a是數列的極限，也就是說，數列裡面的項應該隨著n的增長越來越接近於這個極限值，那麼接近的程度越來越大，用算術的語言來說就是數列的項與極限值的距離（也就是兩個數的差）越來越小，這個小的程度用個不等式來表達，我們就有了ε，這裡說任意的ε，其實是說任意小的ε，也就說明了項與極限值的距離可以任意小，任意任意超級特別及其小都可以。
但是，每次取定一個ε，不可能對於數列的每一項都能與極限值接近到這樣的程度，所以有了N，這就像是一個門檻，過了這個門檻，我們就能夠保證這之後的每一項都可以達到這麼接近的程度。至於之前的項，那就無所謂啦啦，只有有限項而已。所以有n>N,這個東西。每次ε變得更小，也就是說誤差變得越小，前面就會有越來越多的項不能達到接近程度而被踢出去，也就是說N會越來越大，但不論怎麼說，總是有限的，而後面有無限項達到了接近的要求，也就是滿足那個不等式。門檻越來越高，要過門檻的n自然必須高過門檻才過的去。
===============就是這麼個簡單的意思，以後還會看到函式極限，類似的，但複雜一點點。（引用別人的話的地址：