1. 線性時不變系統對復指數訊號的響應

在研究 \(LTI\)（Linear and Time-invariant System）系統時，將訊號表示成基本訊號的線性組合是很有利的，但這些基本訊號應該具有以下兩個性質：

• 由這些基本訊號能夠構成相當廣泛的一類有用訊號；
• \(LTI\) 系統對每一個基本訊號的響應應該十分簡單，以使得系統對任意輸入訊號的響應有一個很方便的表示式。

傅立葉分析的很多重要價值都來自於這一點，即連續和離散時間復指數訊號集都具有上述兩個性質，即連續時間的\(e^{st}\) 和離散時間的 \(z^n\)，其中 \(s\) 和 \(z\) 都是複數。

在研究 \(LTI\)

\[連續時間：e^{st} \to H(s)e^{st}\]
\[離散時間：z^{n} \to H(z)z^{n}\]
這裡 \(H(s)\) 或 \(H(z)\) 是一個復振幅因子，一般來說是復變數 \(s\) 或 \(z\) 的函式。一個訊號，若系統對該訊號的輸出響應僅是一個常數乘以輸入，則稱該訊號為系統的特徵函式，而幅度因子稱為系統的特徵值。

現考慮一個單位衝激響應為 \(h(t)\) 的連續時間 \(LTI\) 系統，對任意輸入 \(x(t)\)

\[ \tag 1 y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)x(t-\tau)d\tau = \int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)e^{s(t-\tau)}d\tau = e^{st}\int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)e^{-s\tau}d\tau\]

假設 （1）式右邊的積分收斂，於是系統對 \(x(t)\) 的響應就為
\[ \tag 2 y(t) = H(s) e^{st}\]
式中 \(H(s)\) 是一個復常數，其值決定於 \(s\)

可以完全用並行的方式證明，復指數序列也是離散時間 \(LTI\) 系統的特徵函式。這就是說單位脈衝響應為 \(h[n]\) 的 \(LTI\) 系統，其輸入序列為
\[ \tag 4 x[n] = z^{n}\]
式中 \(z\) 為某一複數，由卷積和可以確定系統的輸出為
\[ \tag 5 y[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}h[k]x[n-k] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}h[k]z^{n-k} = z^n\sum_{k=-\infty}^{+\infty}h[k]z^{-k}\]
假設 （5）式右邊的求和收斂，於是系統對 \(x[n]\) 的響應就為
\[ \tag 6 y[n] = H(z) z^{n}\]
式中 \(H(z)\) 是一個復常數，為
\[ \tag 7 H[z] =\sum_{k=-\infty}^{+\infty}h[k]z^{-k}\]

針對更一般的情況，若一個連續時間 \(LTI\) 系統的輸入表示成復指數的線性組合，即
\[ \tag 8 x(t) = \sum_k a_k e^{s_kt}\]
那麼輸出就一定是
\[ \tag 9 y(t) = \sum_k a_kH(s_k) e^{s_kt}\]

對於離散情況，完全類似，若一個離散時間 \(LTI\) 系統的輸入表示成復指數的線性組合，即
\[ \tag {10} x[n] = \sum_k a_k z_k^n\]
那麼輸出就一定是
\[ \tag {11} y[n] = \sum_k a_kH(z_k) z_k^n\]

2. 連續時間週期訊號的傅立葉級數表示

2.1. 成諧波關係的復指數訊號的線性組合

週期復指數訊號
\[\tag{12}x(t) = e^{j \omega_0 t}\]
的基波頻率為 \(\omega_0\)，基波週期 \(T=2\pi / \omega_0\)。與之有關的成諧波關係的復指數訊號集就是
\[\tag{13}\phi_k(t) = e^{j k\omega_0 t}=e^{j k(2\pi / T) t}, k=0, \pm1, \pm2,\cdot \cdot \cdot\]

這些訊號中的每一個都有一個基波頻率，它是 \(\omega_0\) 的倍數。因此每個訊號對週期 \(T\) 來說都是週期的。於是，一個由成諧波關係的復指數訊號線性組合形成的訊號
\[\tag{14}x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{j k\omega_0 t}=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{j k(2\pi / T) t}\]
對週期 \(T\) 來說也是週期的。 在式（14）中，\(k=0\) 這一項是個常數，\(k=+1\) 和 \(k=-1\)這兩項都有基波頻率等於 \(\omega_0\)，兩者合在一起稱之為基波分量或稱一次諧波分量。\(k=+2\) 和 \(k=-2\) 這兩項也是週期的，其頻率是基波頻率的兩倍，稱為二次諧波分量。一般來說，\(k=+N\) 和 \(k=-N\) 的分量稱為第 \(N\) 次諧波分量。

一個週期訊號表示成式（14）的形式，就稱為傅立葉級數表示。

2.2. 連續時間週期傅立葉級數表示的確定

假設一個給定的週期訊號能表示成式（14）的形式，這就需要一種辦法來確定這些係數 \(a_k\)，將式（14）兩邊各乘以 \(e^{-jn\omega_0t}\)，可得
\[\tag{15} x(t) e^{-jn\omega_0t}= \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{j k\omega_0 t}e^{-jn\omega_0t}\]
將上式兩邊從 0 到 \(T=2\pi/ \omega_0\)對 \(t\) 積分，有
\[\tag{16} \int _0^Tx(t) e^{-jn\omega_0t}dt= \int _0^T\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{j k\omega_0 t}e^{-jn\omega_0t}dt\]

這裡 \(T\) 是 \(x(t)\) 的基波週期，以上就是在該週期內積分。將上式右邊的積分和求和次序交換後得
\[\tag{17} \int _0^Tx(t) e^{-jn\omega_0t}dt= \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_k\int _0^Te^{j (k-n)\omega_0 t}dt\]
式（17）右邊括號裡的積分是很容易的，為此利用尤拉公式可得

\[\tag{18} \int _0^Te^{j (k-n)\omega_0 t}dt=\int _0^T cos(k-n)\omega_0 tdt+j\int _0^T sin(k-n)\omega_0 tdt\]

對於 \(k\not= n\)，\(cos(k-n)\omega_0 t\) 和 \(sin(k-n)\omega_0 t\)都是周期函式，其基波週期為 \((T/|k-n|)\)。現在做的積分是在 \(T\) 區間內進行，而 \(T\) 又一定是它們的基波週期 \((T/|k-n|)\) 的整數倍。由於積分可以看做是被積函式在積分割槽間內所包括的面積，所以式（18） 右邊的兩個積分對於 \(k\not= n\) 來說，其值為 0；而對 \(k= n\)，式左邊的被積函式是 1，所以其積分值為 \(T\) 。綜合上述得到
\[\tag{19}\int _0^Te^{j (k-n)\omega_0 t}dt= \begin{cases} T, &\text k=n \\ 0, &\text k\not=n \end{cases}\]
這樣式（17）的右邊就變成了 \(Ta_n\)，因此有

\[\tag{20} a_n = \frac{1}{T}\int _0^Tx(t)e^{-j n\omega_0 t}dt\]

另外，在求式（18）時我們僅僅用到了積分是在一個 \(T\) 的時間間隔內進行，而該 \(T\) 又是 \(cos(k-n)\omega_0 t\) 和 \(sin(k-n)\omega_0 t\) 週期的整數倍。因此，如果是在任意 \(T\) 的間隔做積分，結果應該是相同的。也就是說，若以 \(\int _T\) 表示在任意一個 \(T\) 間隔內的積分，則應該有

\[\tag{21}\int _Te^{j (k-n)\omega_0 t}dt= \begin{cases} T, &\text k=n \\ 0, &\text k\not=n \end{cases}\]
因此
\[\tag{22} a_n = \frac{1}{T}\int _Tx(t)e^{-j n\omega_0 t}dt\]

上述過程可歸結下：如果 \(x(t)\) 能表示成一組成諧波關係的復指數訊號的線性組合，那麼傅立葉級數中係數就由式（22）所確定，這一對關係就定義為一個週期連續訊號的傅立葉計數。
\[\boxed{x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{j k\omega_0 t}=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{j k(2\pi / T) t} \\ a_k = \frac{1}{T}\int _Tx(t)e^{-j k\omega_0 t}dt=\frac{1}{T}\int _Tx(t)e^{-j k(2\pi/T) t}dt}\]
第一個式子稱為綜合公式，第二個式子稱為分析公式。係數 \({a_k}\) 往往稱為 \(x(t)\) 的傅立葉級數係數或頻譜系數。

• 例 1
  
  
• 例 2
  
  
  

2.3. 傅立葉級數的收斂

對於任何週期訊號，我們總是能利用式（22）求得一組傅立葉係數。然而，在某些情況下式（22）的積分可能不收斂，也就是說求得的某些係數可能是無窮大。再者，即使求得的全部係數都是有限值，當把這些係數代入式（14）時所得到的無限項級數也可能不收斂於原訊號。

狄裡赫利條件：

1. 在任何週期內，\(x(t)\) 必須絕對可積，即
   \[\tag{23}\int_T|x(t)|dt < \infty\]
   這一條件保證了每一系數 \(a_k\) 都是有限值，因為
   \[\tag{24}|a_k| \leqslant \frac{1}{T}\int_T|x(t)e^{jk\omega_0t}|dt=\frac{1}{T}\int_T|x(t)|dt\]
   不滿足狄裡赫利第一條件的週期訊號可以舉例如下：
   \[\tag{25}x(t)=\frac{1}{t}, 0<t\leqslant1\]
   

2. 在任意有限區間內，\(x(t)\) 具有有限個起伏變化，也就是說，在任何單個週期內，\(x(t)\) 的最大值和最小值的數目有限。

滿足條件 1 而不滿足條件 2 的一個函式是
\[\tag{26}x(t)=sin(\frac{2\pi}{t}),0<t\leqslant1\]

1. 在 \(x(t)\) 的任何有限區間內，只有有限個不連續點，而且在這些不連續點上，函式都是有限值。

不滿足條件 3 的一個例子如下所示，這個訊號的週期為 \(T=8\)，它是這樣組成的：後一個階梯的高度和寬度都是前一個階梯的一半。

2.4. 傅立葉級數的性質

3. 離散時間週期訊號的傅立葉級數表示

3.1. 成諧波關係的復指數訊號的線性組合

週期復指數訊號
\[\tag{27}x[n] = e^{j (2 \pi/N)n}\]
基波頻率為 \(\omega_0 = 2\pi / N\)，基波週期為 \(N\)。與之有關的成諧波關係的復指數訊號集就是
\[\tag{28}\phi_k[n] = e^{j k\omega_0 n}=e^{j k(2\pi / N) n}, k=0, \pm1, \pm2,\cdot \cdot \cdot\]

這些訊號中的每一個都有一個基波頻率，它是 \(2\pi / N\) 的倍數。由式（28）給出的訊號集中只有 \(N\) 個訊號是不相同的，這是由於離散時間復指數訊號在頻率上相差 \(2\pi / N\) 的整數倍都是一樣的緣故。因此有
\[\tag{29}\phi_k[n] = \phi_{k+rN}[n] \]
這就是說，當 \(k\) 變化一個的 \(N\) 整數倍時，就得到一個完全一樣的序列。現在我們希望利用序列 \(\phi_k[n]\) 的線性組合來表示更一般的週期序列，這樣一個線性組合就有如下形式
\[\tag{30}x[n] = \sum_{k}a_k\phi_k[n]=\sum_{k}a_ke^{j k\omega_0 n}=\sum_{k}a_ke^{j k(2\pi / N) n}\]
因為序列 \(\phi_k[n]\) 只有在 \(k\) 的 \(N\) 個相繼值的區間是不同的，因此，式（30）的求和僅僅需要包括 \(N\) 項。為了指出這一點，特將求和限表示成 \(k=<N>\)，即
\[\tag{31}x[n] = \sum_{k=<N>}a_k\phi_k[n]=\sum_{k=<N>}a_ke^{j k\omega_0 n}=\sum_{k=<N>}a_ke^{j k(2\pi / N) n}\]
譬如說，\(k\) 即可以取 \(k=0, 1, 2,\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot, N-1\)，也可以取 \(k=3, 4, \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot, N+2\)，不管怎樣取，式（31）右邊的求和都是一樣的。式（31）稱為離散時間傅立葉級數，而係數 則稱為傅立葉級數係數。

3.2. 離散時間週期傅立葉級數表示的確定

離散時間傅立葉級數對就為
\[\boxed{x[n] =\sum_{k=<N>}a_ke^{j k\omega_0 n}=\sum_{k=<N>}a_ke^{j k(2\pi / N) n} \\ a_k = \frac{1}{N}\sum_{k=<N>}x[n]e^{-j k\omega_0 n}=\frac{1}{T}\sum_{k=<N>}x[n]e^{-j k(2\pi/N) n}}\]
和連續時間週期訊號一樣，第一個式子稱為綜合公式，第二個式子稱為分析公式。係數 \({a_k}\) 往往稱為 \(x[n]\) 的頻譜系數。

再回到式（31），我們看到若從 0 到 \(N-1\) 範圍內取 \(k\)，則有
\[ \tag{32}x[n]=a_0\phi_0[n]+a_1\phi_1[n]+ \cdot \cdot \cdot+a_{N-1}\phi_{N-1}[n]\]
相類似地，若從 1 到 \(N\) 範圍內取 \(k\)，則有
\[ \tag{33} x[n]=a_1\phi_1[n]+a_2\phi_2[n]+ \cdot \cdot \cdot+a_{N}\phi_{N}[n]\]
因為 $ \phi_0[n] = \phi_N[n]$，將式（32）和式（33）作一比較，就可以得出 \(a_0 = a_{N}\)。類似地，若 \(k\) 取任何一組 \(N\) 個相連的整數，就一定有
\[ \tag{34} a_k = a_{k+N}\]
這就是說，倘若我們考慮的 \(k\) 值多餘 \(N\) 的話，那麼 \(a_k\) 的值必定以 \(N\) 為週期，週期性重複。

• 例 1
  

3.3. 離散時間傅立葉級數的性質

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