同餘

• 前置知識 ————擴充套件歐幾里得定理

• 什麼是同餘

  對於兩個數a,b,它們對於p取模結果相同，那麼就稱a和b在對p取模意義下同餘

• 公式表達a≡b(mod)p

• 如何求一個數的同餘

  利用擴充套件歐幾里得定理
  我們將該公式轉化一下 -> a%p == b%p
  再變一下 -> a%p - b%p == 0
  再變一下 -> a%p + (-b%p) ==0
  誒，這個時候我們可以發現這個和擴歐的公式好像啊(ax+by==c)
  那麼是不是將其看成擴歐就可以解決了呢
  事實是————是的
  但是我們知道可以用擴歐求出一個同餘來了，但是好像還是不知道怎麼求，也不知道同餘可以幹什麼啊
  
  事實上，在平常的寫題中沒有係數的同餘都是很少出現的，一般同餘是這麼出現的-----
  ax≡b%p 它會告訴你一個係數再讓你去求解
  更特殊的，b會等於1，這個時候，就扯到逆元上了
  

逆元

• 什麼是逆元

  形如ax≡1%p的x我們就稱x是a的一個逆元，即a乘以x後mod p的答案是1

• 逆元有什麼用

  在部分對一個很大的數字取模防止答案爆long long以至於表達不出來的題目中，有時會發現會用到除法，可是用整數除法會有問題啊，那怎麼辦呢又是那怎麼辦呢？
  這個時候逆元就派上用場了
  我們發現，ax mod p ==1 時，這個x等於 $\frac{1}{a}$時就是一個最明顯的滿足條件的逆元，可是$\frac{1}{a}$不是一個整數啊，那怎麼辦呢？
  
  實際上，一個數對於另一個數取模時，它的逆元是有無數個的，只不過$\frac{1}{a}$是最小的一個，也就是說，還會有ay mod p == 1的存在，
  而這個時候，由於要對p取模，那麼我們的a乘以x和乘以y的效果都是一樣的，所以$\frac{1}{a}$可以被另一個常數y所代替，再想開一點，是不是所有的常數在對p取模時乘以$\frac{1}{a}$時都可以被y所代替呢， 由於p是不變的，所以這個結論是正確的
  

• 如何求逆元

• 求逆元有三種方式
  前面說過，有一種是可以用ex_gcd來求的
  另外兩種分別是費馬小定理（有侷限性，但是非常簡單）和線性推逆元(線性的去求逆元，適用於大規模求逆元)

  • ax ≡ 1 mod b

  • ax%b == 1
  • #### ax-ax/b*b==1
  • 設y為ax/b,ax + (b(-y)) == 1
  • 以下y為-y
  • ax + by == gcd(a,b)
  • #### gcd(a,b) == gcd(b,a%b) == gcd(b,a-a/b*b)
  • ax + by == gcd(b,a-a/bb) == bx'+(a-a/bb)y'
  • #### ax + by == bx' + ay' - a/b*by'
  • #### ax + by == ay' + b(x'-a/b*by)
  • x = y',y = x' - ab / by
  • 由此，我們可以得出求一個數的逆元的公式了

總結

• 同餘是當兩個數都模一個p它們的餘數相同，那麼我們就稱這兩個數同餘
  • 逆元是同餘的一種常見特殊情況
    
  • 對於求逆元，首先要知道逆元有什麼用：
  • 逆元是在取模運算中可以用乘法代替除法的巧妙工具

• code:

   void ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y)
  {
      if (b==0){x=1,y=0;return;}
      ex_gcd(b,a%b,x,y);
      int tmp=x;
      x=y,y=tmp-a/b*y;
  }