目錄

• 什麽是逆元
• 如何求逆元
• 階乘逆元

本文章內，若無特殊說明，數字指的是整數，除法指的是整除。

什麽是逆元

我們稱\(a\)是\(b\)在模\(p\)情況下的逆元，則有\(a \times b \equiv 1 ( mod\,\,p)\)。
所以呢，我們其實可以將逆元看成一個數的相反數。所以在除以一個數的時候，就相當於乘上它的相反數。

如何求逆元

我們先來看看什麽情況下有逆元。

當且僅當\(gcd(b,p)=1\)時，\(b\)在模\(p\)情況下有逆元。

這個結論可由裴蜀定理顯然推得，下面一段來自百度百科，若讀者對證明有興趣，可以自行了解。

裴蜀定理（或貝祖定理，Bézout‘s identity）得名於法國數學家艾蒂安·裴蜀，說明了對任何整數\(a\)

、\(b\)和它們的最大公約數\(d\)，關於未知數\(x\)和\(y\)的線性不定方程（稱為裴蜀等式）：若\(a\),\(b\)是整數,且\((a,b)=d\)，那麽對於任意的整數\(x\),\(y\),\(ax+by\)都一定是\(d\)的倍數，特別地，一定存在整數\(x\),\(y\)，使\(ax+by=d\)成立。

下面介紹如何用拓展歐幾裏得求逆元。

我們求\(b\)在模\(g\)意義下的逆元，根據\(a \times b \equiv 1 ( mod\,\,p)\)，得到\(a\times b + k\times p = 1\)。
我們知道，\(gcd(b,p)=gcd(p,b \% p)\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
void ExPower( int b, int p, int & a, int & k ) {
    if( p == 0 ) {
        a = 1; k = 0;
        return;
    }
    ExPower( p, b % p, k, a );
    k -= b / p * a;
    return;
}
int main() {
    int b, p;
    cin >> b >> p;
    int a, k;
    ExPower( b, p, a, k );
    if( a < 0 ) a += p;
    cout << a << endl;
    return 0;
}

階乘逆元

如果我們需要求\(0!\)到\(n!\)的逆元，對於每個元素都求一遍，就顯得有點慢。（雖然\(exPower\)的時間快到可以認為是小常數。）
前面我們說了，逆元就可一看做是求倒數。那麽不就有\(\frac{1}{(n+1)!}\times (n+1)=\frac{1}{n!}\)。
附C++程序：

int inv( int b, int p ) {
    int a, k;
    exPower( b, p, a, k );
    if( a < 0 ) a += p;
    return a;
}
void init( int n ) {
    Fact[ 0 ] = 1;
    for( int i = 1; i <= n; ++i ) Fact[ i ] = Fact[ i - 1 ] * i % Mod;
    INV[ n ] = inv( Fact[ n ], Mod );
    for( int i = n - 1; i >= 0; --i ) INV[ i ] = INV[ i + 1 ] * ( i + 1 ) % Mod;
    return;
}

拓展歐幾裏得求逆元與階乘逆元求法