整數性質

描述

我們知道，在數學中，對於任意兩個正整數a和b，必定存在一對整數s、t使得sa+tb=gcd(a,b)。

輸入

多組測試數據。
每組數據輸入兩個非負整數a和b且a+b>0且a不等於b。
其中0<=a,b<100000。

輸出

輸出滿足條件的 s 和 t 。

樣例輸入

2 4
3 8
737 635

樣例輸出

1 0
3 -1
193 -224

 1 /*
 2 擴展歐幾裏德定理
 3 
 4 對於與不完全為 0 的非負整數 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公約數。那麽存在唯一的整
 5 數 x，y 使得 gcd（a，b）=ax+by。
 
 6 設 a>b。
 7 1，顯然當 b=0，gcd（a，b）=a。此時 x=1，y=0；
 8 2，ab<>0 時
 9 設 ax1+by1=gcd(a,b);
10 bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
11 根據樸素的歐幾裏德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
12 則:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
13 即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
14 根據恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;
15 這樣我們就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基於 x2，y2.
 
16 上面的思想是以遞歸定義的，因為 gcd 不斷的遞歸求解一定會有個時候 b=0，所以遞歸可以
17 結束。
18 */
19 #include<stdio.h>
20 int s,t;
21 void f(int a,int b)
22 {
23     int k;
24     if(a==0){
25         s=0;
26         t=1;
27         return;
28     }
29     else if(b==0){
30         s=1;
31         t=0;
32         return;
33     }
34     else
 
{
35         f(b,a%b);
36         k=s;
37         s=t;
38         t=k-a/b*t;
39     }
40 }
41 int main()
42 {
43     int a,b;
44     while(scanf("%d%d",&a,&b)!=EOF){
45         f(a,b);
46         printf("%d %d\n",s,t);
47     }
48     return 0;
49 }

解題思路：（轉載http://www.cnblogs.com/zyf0163/p/4792953.html）

相信大家對歐幾裏得算法,即輾轉相除法不陌生吧。

代碼如下：

int gcd(int a, int b){ return !b ? gcd(b, a % b) : a; }

而擴展歐幾裏得算法，顧名思義就是對歐幾裏得算法的擴展。

切入正題：

首先我們來看一個問題：

求整數x, y使得ax + by = 1, 如果gcd(a, b) != 1, 我們很容易發現原方程是無解的。則方程ax + by = 1有正整數對解（x, y)的必要條件是gcd(a, b) = 1,即a, b 互質。

此時正整數對解(x, y)可以通過擴展歐幾裏得算法求得。

對於方程ax + by = gcd(a, b)；我們設解為x₁, y₁

我們令a = b, b = a % b;

得到方程bx + a % by = gcd(b， a % b);

由歐幾裏得算法可以得到gcd(a, b) = gcd(b, a % b);

代入可得：bx + a % b y = gcd(a, b)

設此方程解為x_2, y₂；

在計算機中我們知道： a % b = a - (a / b) * b;

代入方程化解得：

ay₂ + b(x₂ - (a / b) y₂) = gcd(a, b);

與ax₁ + by₁ = gcd(a, b) 聯立，我們很容易得：

x₁ = y₂, y₁ = x₂ - (a / b)y₂;

然後我們就這樣可以解出來了。

等等我們似乎忘記一個東西了吧？對就是遞歸的終點。也就是最後方程的解x和y。

對於方程ay₂ + b(x₂ - (a / b) y₂) = gcd(a, b);

當b = 0時，發現a * 1 + b * 0 = gcd(a, b)

則有x = 1, y = 0。

由此我們把ax + by = 1的其中一組解解出來了， 僅僅是其中一組解。

對於已經得到的解x₁, y₁;我們便可以求出通解。

我們設x = x₁ + kt；t為整數

帶入方程解得y = y₁ - a * k / b * t;

而我們要保證y也為整數的話必須保證a * k /b也為整數，我們不妨令k = b/gcd(a, b);

所以通解為：

x = x₁ + b / gcd(a, b) * t;

y = y₁ - a / gcd(a, b) * t;

其中t為整數。

附上偽代碼：

int a, b, x, y; int extgcd(int a, int b,int &x, int &y){ int d = a; if(b != 0){ d = extgcd(b, a % b, y, x); y -= (a / b) * x; } else x = 1, y = 0; return d; }//d = gcd(a, b);

整數性質（拓展歐幾裏得算法）