式子a≡b（mod n）稱為a和b關於模n同余，它的充要條件是a-b是n的整數倍，即a-b=zn（其中z取整數）。

而模線性方程組ax≡b（mod n）可以寫成ax-b=zn（其中z取整數）,移項可得

ax-zn=b，也即二元一次方程ax+by=c的形式，利用拓展歐幾裏得算法（extgcd）可以求解該方程是否有解及其一組解，並可根據該組解寫出解系，進而求出一個特解，比如最小正整數解。

　　下面給出拓展歐幾裏得算法的程序。

 1 typedef long long LL;
 2 void extgcd(LL a, LL b, LL &d, LL &x0, LL &y0)
 
 3 {
 4     if(b == 0){
 5         d=a;x=1;y=0;
 6     }
 7     else{
 8         extgcd(b,a%b,d,y,x);
 9         y -= x*(a/b);    
10     }
11 }

　　其中a，b是系數，d表示a，b的最大公約數，x0，y0表示一組特解。

由gcd（a，b）= gcd（b,a%b）

得ax0 + by0 = gcd(a, b) = gcd(b, a%b) = bx1 + (a%b)y1

其中a%b又可以寫成a-a/b*b,

故又=bx1 + (a-a/b*b)y1

整理得 ay1 + b(x1-a/b*y1)

　　由系數相等的x0=y1,y0=(x1-a/b*y1);那麽只要求出x1和y1即可求得x0和y0，故向下遞歸求x1，y1,如此遞歸一直求到gcd(an, 0) = an*xn + 0 * yn時，令xn=1，yn=0可滿足該式，因為an*1+0*0=an=gcd(an, 0)。之後遞歸回退，直至求出x0，y0，而d也即a和b的最大公約數。

　　下面說如何判斷是否存在整數解。

　　將ax+by=c兩邊同時除以d可得

a/d*x+b/d*y=c/d,因為d為a和b的最大公約數，所以a/d和b/d均為整數，故要求x和y的整數解，c/d必須為整數，否則無整數解。

綜上，有如下結論:設a，b，c為任意整數,d=gcd（a，b),d=ax+by,若c是d的倍數，則存在整數解,否則不存在整數解。

　　下面說如何根據求得的一組解（x0，y0）求出解系，進而求出一組特解。

　　先用帶入擴展歐幾裏得得出ax+b*y=gcd(a,b)的一個解x0,y0;

再觀察兩個式子：

ax+b*y=c 0)

a*x0+b*y0=d 1) ( 令d=gcd(a,b) )

將0)式兩邊都除以d，得：

x*(a/d)+y*(b/d)=c/d

將1)式兩邊都乘以b/d與0)式比較：

(x0*c/d)*a + (y0*c/d)*b=c

　　a*x+b*y=c 0)

得x=x0*c/d,y=y0*c/d;

再將上面的結論完善一下：設a，b，c為任意整數,d=gcd（a，b),方程d=ax+by的一組解是（x0,y0）,當c是d的倍數，則線性方程組ax+by=c的一組解是（x0*c/d,y0*c/d）,當c不是d的倍數時無整數解。
接下來將一個解擴展成一個解系：

1）除以d得： x0*(a/d)+y0*(b/d)=1

因為(a/d)和(b/d)互質，將方程寫成：

(x0+u*(b/d))*(a/d)+(y0+v*(a/d))*(b/d)=1即只需u*(b/d)*(a/d) + v*(a/d)*(b/d)=0即可；
所以x，y的解系可以寫成 x=(x0+u*(b/d))*(a/d)

y=(y0+v*(a/d))*(b/d)

接下來就可以求滿足方程的x的最小正整數了

所以xmin=(x0*(c/d)) mod (b/d)

具體例子是POJ的1061 青蛙的約會

https://www.cnblogs.com/wenzhixin/p/9343420.html

如何使用拓展歐幾裏得算法求解模線性方程組（詳解）