題意

給定一個 $R\times C$ 的矩陣，找到一個 $H\times W$

思路

不愧是 $\text{IOI}$ 的題目，很難想到，但想到都會連聲稱妙。二分答案是一種很容易成為思維漏洞的演算法，看到這類題目總會條件反射的想到資料結構或其他演算法，二分答案好像完全不沾邊。其實想到二分答案後，整個思維的方向都會發生改變。
比如這道題，讓我們框一個矩形使中位數最小，我們顯然會各種嘗試使它變小，然而，我們如果二分了一箇中位數作為答案，我們的任務就是找到一個滿足或會更優的子矩形，後者明顯更加容易。我們不妨二分一個答案，然後把矩陣轉化成01矩陣即原數是不是小於等於你的答案，我們只用找是否有矩形 $1$ 的個數大於等於 ${RC+1 \over 2}$ ——用二維字首和實現——然後找到第一個滿足條件的解即可。

程式碼

#include<bits/stdc++.h>
#define FOR(i,x,y) for(int i=(x),i##END=(y);i<=i##END;++i)
#define DOR(i,x,y) for(int i=(x),i##END=(y);i>=i##END;--i)
typedef long long LL;
using namespace std;
const int N=1003;
int a[N][N],s[N][N];
int S(int X1,int Y1,int X2,int Y2)
{
    return s[X2][Y2]-s[X1-1][Y2]-s[X2][Y1-1]+s[X1-1][Y1-1];
}
int n,m,w,h,MID;
void Read(int &x)
{
    x=0;char ch=getchar();
    for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar());
    for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
}
 
bool check(int k)
{
    FOR(i,1,n)FOR(j,1,m)s[i][j]=(a[i][j]<=k);
    FOR(i,1,n)FOR(j,1,m)s[i][j]+=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1];
    FOR(i,1,n-w+1)FOR(j,1,m-h+1)if(S(i,j,i+w-1,j+h-1)>=MID)return true;
    return false;
}
 
int main()
{
    Read(n),Read(m),Read(w),Read(h);
    MID=(w*h+1)/2;
    FOR(i,1,n)FOR(j,1,m)Read(a[i][j]);
    int l=1,r=n*m,mid;
    while(l<r)
    {
        mid=l+r>>1;
        if(check(mid))
            r=mid;
        else l=mid+1;
    }
    printf("%d\n",l);
    return 0;
}