1傅立葉變換物理意義

影象的頻率是表徵影象中灰度變化劇烈程度的指標，是灰度在平面空間上的梯度。如：大面積的沙漠在影象中是一片灰度變化緩慢的區域，對應的頻率值很低；而對於地表屬性變換劇烈的邊緣區域在影象中是一片灰度變化劇烈的區域，對應的頻率值較高。傅立葉變換在實際中有非常明顯的物理意義，設f是一個能量有限的模擬訊號，則其傅立葉變換就表示f的頻譜。從純粹的數學意義上看，傅立葉變換是將一個函式轉換為一系列周期函式來處理的。從物理效果看，傅立葉變換是將影象從空間域轉換到頻率域，其逆變換是將影象從頻率域轉換到空間域。換句話說，傅立葉變換的物理意義是將影象的灰度分佈函式變換為影象的頻率分佈函式。

傅立葉逆變換是將影象的頻率分佈函式變換為灰度分佈函式傅立葉變換以前，影象（未壓縮的點陣圖）是由對在連續空間（現實空間）上的取樣得到一系列點的集合，通常用一個二維矩陣表示空間上各點，記為z=f(x,y)。又因空間是三維的，影象是二維的，因此空間中物體在另一個維度上的關係就必須由梯度來表示，這樣我們才能通過觀察影象得知物體在三維空間中的對應關係。

傅立葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點，其意義是指影象上某一點與鄰域點差異的強弱，即梯度的大小，也即該點的頻率的大小（可以這麼理解，影象中的低頻部分指低梯度的點，高頻部分相反）。一般來講，梯度大則該點的亮度強，否則該點亮度弱。這樣通過觀察傅立葉變換後的頻譜圖，也叫功率圖，我們就可以直觀地看出影象的能量分佈：如果頻譜圖中暗的點數更多，那麼實際影象是比較柔和的（因為各點與鄰域差異都不大，梯度相對較小）；反之，如果頻譜圖中亮的點數多，那麼實際影象一定是尖銳的、邊界分明且邊界兩邊畫素差異較大的。

對頻譜移頻到原點以後，可以看出影象的頻率分佈是以原點為圓心，對稱分佈的。將頻譜移頻到圓心除了可以清晰地看出影象頻率分佈以外，還有一個好處，它可以分離出有周期性規律的干擾訊號，比如正弦干擾。一幅頻譜圖如果帶有正弦干擾，移頻到原點上就可以看出，除了中心以外還存在以另一點為中心、對稱分佈的亮點集合，這個集合就是干擾噪音產生的。這時可以很直觀的通過在該位置放置帶阻濾波器消除干擾。

2傅立葉變換作用

傅立葉變換在影象處理中有非常重要的作用。因為不僅傅立葉分析涉及影象處理很多方面，傅立 葉改進演算法，比如離散餘弦變換，gabor與小波在影象處理中也有重要的分量。傅立葉變換在影象處理的重要作用：

（1）影象增強與影象去噪

絕大部分噪音都是影象的高頻分量，通過低通濾波器來濾除高頻——噪聲; 邊緣也是影象的高頻分量，可以通過新增高頻分量來增強原始影象的邊緣；

（2）影象分割之邊緣檢測

 提取影象高頻分量。

（3）影象特徵提取：

 形狀特徵：傅立葉描述子

 紋理特徵：直接通過傅立葉係數來計算紋理特徵

 其他特徵：將提取的特徵值進行傅立葉變換來使特徵具有平移、伸縮、旋轉不變性

（4）影象壓縮

傅立葉變換是將 時域訊號分解為不同頻率的正弦訊號或餘弦函式疊加之和。連續情況下要求原始訊號在一個週期內滿足絕對可積條件。離散情況下，傅立葉變換一定存在。岡薩雷斯 版<影象處理>裡面的解釋非常形象：一個恰當的比喻是將傅立葉變換比作一個玻璃稜鏡。稜鏡是可以將光分解為不同顏色的物理儀器，每個成分的顏 色由波長（或頻率）來決定。傅立葉變換可以看作是數學上的稜鏡，將函式基於頻率分解為不同的成分。當我們考慮光時,討論它的光譜或頻率譜。同樣,傅立葉變 換使我們能通過頻率成分來分析一個函式。

傅立葉變換有很多優良的性質。

  如線性， 對稱性（可以用在計算訊號的傅立葉變換裡面）；

時移性：函式在時域中的時移，對 應於其在頻率域中附加產生的相移，而幅度頻譜則保持不變；

  頻移性：函式在時域中乘 以e^jwt，可以使整個頻譜搬移w。這個也叫調製定理，通訊裡面訊號的頻分複用需要用到這個特性（將不同的訊號調製到不同的頻段上同時傳輸）；

  卷積定理：時域卷積等於頻域乘積；時域乘積等於頻域卷積（附加一個係數）。（影象處理裡面 這個是個重點）。

（5）訊號在頻率域的表現。

在頻域中，頻率越大說明原始訊號變化速度越快；頻率越小說明原始訊號越平緩。當頻率為0時，表示直 流訊號，沒有變化。因此，頻率的大小反應了訊號的變化快慢。高頻分量解釋訊號的突變部分，而低頻分量決定訊號的整體形象。

在影象處理中，頻域反應了影象在空域灰度變化劇烈程度，也就是影象灰度的變化速度，也就是影象的梯 度大小。對影象而言，影象的邊緣部分是突變部分，變化較快，因此反應在頻域上是高頻分量；影象的噪聲大部分情況下是高頻部分；影象平緩變化部分則為低頻分 量。也就是說，傅立葉變換提供另外一個角度來觀察影象，可以將影象從灰度分佈轉化到頻率分佈上來觀察影象的特徵。書面一點說就是，傅立葉變換提供了一條從 空域到頻率自由轉換的途徑。對影象處理而言，以下概念非常的重要：

影象高頻分量： 影象突變部分；在某些情況下指影象邊緣資訊，某些情況下指噪聲，更多是兩者的混合；

低頻分量：影象變化平緩的部分，也就是影象輪廓資訊

高通濾波器：讓影象使低頻分量抑 制，高頻分量通過

低通濾波器：與高通相反，讓影象使高頻分量抑制，低頻分量通過

帶通濾波器：使影象在某一部分的頻率資訊通過，其他過低或過高都抑制

帶阻濾波器，是帶通的反。

（6）影象去噪

影象去噪就是壓制影象的噪音部分。因此，如果噪音是高頻額，從頻域的角度來看，就是需要用一個低通濾波器對影象進行處理。通過低通濾波器可以抑制影象的高頻分量。 但是這種情況下常常會造成邊緣資訊的抑制。常見的去噪模板有均值模板，高斯模板等。這兩種濾波器都是在區域性區域抑制影象的高頻分量，模糊影象邊緣的同時也 抑制了噪聲。還有一種非線性濾波-中值濾波器。中值濾波器對脈衝型噪聲有很好的去掉。因為脈衝點都是突變的點，排序以後輸出中值，那麼那些最大點和最小點 就可以去掉了。中值濾波對高斯噪音效果較差。

 椒鹽噪聲：對於椒鹽採用中值濾波可以 很好的去除。用均值也可以取得一定的效果，但是會引起邊緣的模糊。

高斯白噪聲：白 噪音在整個頻域的都有分佈，好像比較困難。

岡薩雷斯版影象處理P185：算術均值 濾波器和幾何均值濾波器（尤其是後者）更適合於處理高斯或者均勻的隨機噪聲。諧波均值濾波器更適合於處理脈衝噪聲。

（7）影象增強

有時候感覺影象增 強與影象去噪是一對矛盾的過程，影象增強經常是需要增強影象的邊緣，以獲得更好的顯示效果，這就需要增加影象的高頻分量。而影象去噪是為了消除影象的噪 音，也就是需要抑制高頻分量。有時候這兩個又是指類似的事情。比如說，消除噪音的同時影象的顯示效果顯著的提升了，那麼，這時候就是同樣的意思了。

常見的影象增強方法有對比度拉伸，直方圖均衡化，影象銳化等。前面兩個是在空域進行基於像 素點的變換，後面一個是在頻域處理。我理解的銳化就是直接在影象上加上影象高通濾波後的分量，也就是影象的邊緣效果。對比度拉伸和直方圖均衡化都是為了提 高影象的對比度，也就是使影象看起來差異更明顯一些，我想，經過這樣的處理以後，影象也應該增強了影象的高頻分量，使得影象的細節上差異更大。同時也引入 了一些噪音。

3傅立葉變換的理解

傅立葉變換是將時域訊號分解為不同頻率的正弦訊號或餘弦函式疊加之和。連續情況下要求原始訊號在一個週期內滿足絕對可積條件。離散情況下，傅立葉變換一定存在。岡薩雷斯 版<影象處理>裡面的解釋非常形象：一個恰當的比喻是將傅立葉變換比作一個玻璃稜鏡。稜鏡是可以將光分解為不同顏色的物理儀器，每個成分的顏 色由波長（或頻率）來決定。傅立葉變換可以看作是數學上的稜鏡，將函式基於頻率分解為不同的成分。當我們考慮光時,討論它的光譜或頻率譜。同樣,傅立葉變換使我們能通過頻率成分來分析一個函式。

4傅立葉變換的實現

（1）對於一個大小為M*N的影象，對其進行離散傅立葉變換有下式：

其中變數u和v用於確定它們的頻率。

（2）離散傅立葉逆變換由下式給出：

（3）令R和I分別表示F的實部和需部，則傅立葉頻譜（頻率），相位角（方向），功率譜（幅度，傅立葉變換影象中的亮度）定義如下：