最小生成樹問題（Minimum Spanning Trees, MST）

作者：Bluemapleman([email protected])

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文章目錄

• 最小生成樹問題（Minimum Spanning Trees, MST）
• 問題定義
• 生成MST的方法
• Kruskal
• Prim
• 參考文獻

問題定義

給定一個無向圖G=(V, E)，以及邊（Edge）上的權值w: E -> R。

在G中找到一棵生成樹 $T\subseteq E$，這棵樹連線了所有的頂點，且其所有邊的權值的總和是所有這樣的生成樹中最小的。

生成MST的方法

生成MST的兩個經典演算法Kruskal和Prim演算法都是基於貪心的思想，只是它們應用貪心的方式不太一樣。但是它們都遵循一個一般性方法（Generic Method），這個一般性方法每次為MST找一個邊。這個一般性方法會維持一個邊的集合A，並保持以下迭代不變性質(loop invariant)：

每次迭代之後， A是某個MST的邊子集。

每一次迭代過程中，我們確定一個可以加到A中，且不違反迭代不變性質的邊(u,v)；也就是說， $A\bigcup (u,v)$

而找安全邊，有以下一個定理可以讓我們參考，

G=(V, E)是一個連通的無向圖，且它的每個邊都有一個相應的權值。A是邊的集合E的一個子集，它是G的最小生成樹的一個部分。讓(S,V-S)稱為G的一個劃分，若有一條權值最小的邊(u,v)橫跨劃分的兩個部分，那麼這個邊就是一個安全邊。

具體證明可參照[1]的23.1節，此處不展開。

而實際的Kruskal與Prim演算法的具體差異，實際上就體現在找安全邊的思路上。

Kruskal

Kruskal的本質是並查集（Union Find）的應用，而並查集的知識可以參考這篇文章並查集(Union-Find)演算法介紹。

• 虛擬碼

第2、3行：Kruskal首先構造並查集的初始集合，即讓每個頂點都的父親指標都指向自己。

第4行：對G中的所有邊按照權值從小到大進行排序。

第5、6、7行：按照權值從小到大順序遍歷每個邊，如果當前邊的兩個頂點不屬於同一個集合，則將它們連線起來。

• 示例（來自[1]的23.3節）

• 時間複雜度

  • 對邊按照權值排序： O(ElgE)
  • 聯合與查詢：O(ElgV)

總時長：O(ElgV) (因為 $V-1\le E \le C_n^2 \le V^2$，所以lgE=O(lgV)，所以O(E(lgE+lgV)=O(ElgV))

Prim

Prim演算法則利用一個優先佇列（Priority Queue）來儲存所有尚未加入到生成樹T中的G的頂點，頂點的優先順序由連線T與該頂點的權重最小的邊的權重決定。

• 虛擬碼

第1、2、3行：初始化G中所有除T的起始點之外其它頂點的鍵值（即優先佇列中的優先順序）。並將結點的父親指向空。

第6、7行：開始迴圈，直到優先佇列為空，每次迴圈都從Q中取出優先順序最低的那個頂點。

第8、9、10、11行：遍歷提取出的頂點的每個相鄰邊，看該相鄰邊的權值是否小於邊的另一個頂點的鍵值，若小於，則更新鍵值為邊的權值，並將父親指標指向提取出的頂點。

• 示例（來自[1]的23.3節）

• 時間複雜度

優先佇列操作：

insert(v)：V次

extractMin()：V次

decreaseKey(v)：E次

假設我們用一個二叉堆來實現優先佇列，那麼extractMin()與decreaseKey(v)都將是O(lgV)的複雜度。

總時間：

O(VlgV+ElgV)=O(ElgV) (與Kruskal一樣)

• *擴充套件

如果用斐波那契堆(Fibonacci Heap，參考[1]第19章)來實現優先佇列，可以實現均攤insert(v)與decreasekey()操作O(1)的時間複雜度。

此時，Prim演算法的總的時間複雜度變成了：O(VlgV+E)，比基於二叉堆優先佇列實現的Prim效能更好。

參考文獻

[1] Introduction to Algorithm: Third Edition, Thomas et al.