紅黑樹簡介（Introduction to Red-black tree）

作者：Bluemapleman([email protected])

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文章目錄

• 紅黑樹簡介（Introduction to Red-black tree）
• 定義
• 查詢操作分析
• 插入操作分析
• 刪除操作
• 參考文獻

前言：紅黑樹以操作複雜，但效能優異著稱（增刪查節點最壞情況的時間複雜度都是O（lgn））。Java的TreeSet和TreeMap都是基於紅黑樹實現的。紅黑樹屬於BST（二叉查詢樹）的一種，但它相比BST多了平衡的（balanced）特徵，平衡的含義是：“最壞情況下的樹高也只是O(lgn)”。而平衡的特性，也就是紅黑樹能保證優異效能的根本所在。

定義

（可以先嚐試瞭解2-3-4樹的概念，2-3-4樹也是一種自平衡的樹，可以保證在O（lgn）內完成增刪查操作，但是由於實現相對較為困難，所以在要求實現高效能的樹時往往用效能相似的紅黑樹來替代。2-3-4樹資料）

而紅黑樹具備以下五個特徵的二叉搜尋樹：

• 每個節點要麼是紅色，要麼是黑色
• 根是黑色
• 每個葉子節點（NIL）都是黑色
• 不能父子節點同時為紅色
• 任意一條從根到葉子的路徑上都有相同數目的黑色結點

淺色為紅色，深色為黑色，圖來自Introduction To Algorithm: Third Edition, Thomas et al. Page 309 [1]

NIL表示預設存在的黑色葉子節點，後面畫圖和分析時都可以忽略這些NIL結點。它們存在的意義主要在於滿足紅黑樹的葉子節點顏色的要求。

紅黑樹的高度h有這麼一條可以證明的特性：有n個keys的紅黑樹的高度h，小於等於2lg(n+1)。（證明可參看[1]）

另外，就平衡這個特性來說，我們還可以將紅黑樹與AVL樹做一個對比：

紅黑樹與AVL樹的比較：（來自AVL樹與紅黑樹（R-B樹）的區別與聯絡）

AVL是嚴格的平衡樹，因此在增加或者刪除節點的時候，根據不同情況，旋轉的次數比紅黑樹要多；

紅黑樹是用非嚴格的平衡來換取增刪節點時候旋轉次數的降低開銷；

所以簡單說，如果你的應用中，搜尋的次數遠遠大於插入和刪除，那麼選擇AVL樹，

如果搜尋，插入刪除次數幾乎差不多，應選擇紅黑樹。即，有時僅為了排序（建立-遍歷-刪除），不查詢或查詢次數很少，R-B樹合算一些。
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作者：碼農的小夢想 
來源：CSDN 
原文：https://blog.csdn.net/zhangkunrun/article/details/38336543 
 

查詢操作分析

紅黑樹的查詢操作與BST樹完全相同，用查詢的值與根節點的key做比較，找到即返回，沒找到就遞迴地在根節點的左子樹或右子樹裡繼續找即可。時間複雜度顯然=樹高=O(lgn)。

插入操作分析

紅黑樹的插入和標準的BST樹的插入類似：我們首先通過不斷地比較，找到新節點應當插入的葉子節點的位置，如果發現插入結點的key已存在，那麼就不需要後續操作了。如果沒有，我們就將新節點接在相應的位置上，並將新節點染成紅色。

這樣做的潛在問題是：如果插入新節點位置的父親節點也是個紅色結點，那麼這樣做就會導致父子節點都是紅色，這是不符合紅黑樹規定的。所以，紅黑樹完整的插入操作還包含一步：解決可能存在的“紅-紅”問題。

為了更好地解決“紅紅問題”，我們把新節點插入後，可能出現的所有情況分成以下四種：

• case 0：父親節點為黑色，搞定收工！
• case 1：父親和叔伯結點均為紅色，則將爺爺結點（一定為黑色）染成紅色，父親和叔伯結點均染成黑色，換言之，做一個顏色翻轉！之後，我們再看爺爺結點與爺爺結點的父親節點是否有“紅紅問題”存在；
• case 2：父親為紅色，叔伯不存在或叔伯為黑色，則若父親和爺爺結點此時處在插入結點的不同側，旋轉一次；
• case 3：父親為紅色，叔伯不存在或叔伯為黑色，則若父親和爺爺結點此時處在插入結點的相同側，旋轉一次；

我們根據圖來看一下這幾種情況，並詳細講述一下相關的具體操作：

(1) 我們用變數z來指向我們新插入的節點，或者指向我們後續要處理的結點。可以看上圖中，我們新插入的結點是4，按照BST的方式，判斷它應該成為結點5的左子節點，於是我們插入4，並將4染成紅色（a）。

(2) 然後，我們發現4的父親4和叔伯8都是紅色，符合case1，於是我們將爺爺結點和父親叔伯結點的顏色互換，之後變數z指向爺爺結點7，因為我們已經保證爺爺結點以下的結點沒有“紅紅問題”了（b）。

(3) 然而此時，我們又發現z指向的結點7的父親2也是紅色，然而叔伯14是黑色，並且父親2和爺爺11不在同一側，故符合case2，此時，我們先將z指向z本來的父親2，然後我們針對現在的z做一次樹的旋轉（此處是左旋）（c）。

(4) 左旋完後，我們再看z，返現此時z的父親7為紅色，叔伯14為黑色，而父親7和爺爺11在同一側，故滿足case3，於是我們針對z的爺爺結點11做一個旋轉（此處是右旋）（d）。

(5) 最後，我們會發現z的父親7跟著旋轉到根節點，但是父親本身是紅色的，而紅黑樹要求根是黑色的，所以我們把父親結點7染成黑色。

現在，這個紅黑樹就在插入新節點後依然滿足所有紅黑樹的要求。這樣，我們就徹底完成了紅黑樹的插入。

紅黑樹插入的虛擬碼：（先插入，後修復）

這裡需要注意的一點是：從修復部分的虛擬碼也可以看出，當我們遇到case2並完成處理後，我們一定會緊接著遇到case3，而處理完case3後，我們一定就已經基本解決了所有的“紅紅問題”（可能還需要把根節點染黑）。而只有case1的情況是可能出現自我迴圈的，即需要多次翻轉父親叔伯與爺爺的顏色，而case1若不迴圈，我們還有可能再碰到case 0,2,3。瞭解這四個case之間的一個轉換關係可以幫助我們分析插入操作的時間複雜度。

課堂上老師的板書。

• 時間複雜度

由於具有n個節點的紅黑樹的高度是O(lgn)，除開修復部分的插入操作顯然只花費O(lgn)的時間，而在修復操作中，while loop修復“紅紅問題”的過程中，只有case1可能使while loop繼續迴圈（case2會轉到case3，case3代表結束），而每次case1迴圈會使得指標z指向指向更高兩層的節點（仔細理解上面的修復過程），因此while loop迴圈的次數也最多隻有O（lgn）。另外，case2和case3中的旋轉操作也都是O(1)的時間複雜度。因此，紅黑樹插入操作的總時間複雜度為O(lgn)。

刪除操作

開始的步驟類似BST中的刪除操作（Hibbard Deletion）：首先找到要刪除的結點z：

• 若該結點只有一個子節點，則直接用該子節點替換在待刪除結點z的位置就好；

• 若待刪除結點有兩個子節點（左子節點為l）：

  • 若右子節點y作為根節點的子樹沒有左子樹/左子節點，則直接用y替換在z的位置，然後l作為z的左子節點即可；
  • 則若右子節點r作為根節點還有左子樹，則取該左子樹中key最小的那個結點作為y，那麼我們需要將r作為y的右子樹，l作為y的左子樹，用y替換在z的位置即可。

但是紅黑樹還需要除以上正常的BST刪除步驟之外進行一些其它的調整，這些調整比較複雜，本文就不具體分析了。（我們老師也只講到這裡，但是給大家推薦一篇講刪除的博文）

但記住紅黑樹的刪除操作時間複雜度也是O(lgn)即可。

參考文獻

[1] Introduction to Algorithms: Third Edition, Thomas et al.