2-3 tree

2-3樹節點：

1. null節點，null節點到根節點的距離都是相同的，所以2-3數是平衡樹
2. 2叉節點，有兩個分樹，節點中有一個元素，左樹元素更小，右樹元素節點更大
3. 3叉節點，有三個子樹，節點中有兩個元素，左樹元素更小，右樹元素更大，中間樹介於兩個父元素之間。
   
   插入操作如下圖所示
   

紅黑樹

紅黑樹可以理解為實現了2-3樹的BST（binary search tree），它是一個自平衡樹，保證在最壞的情況下的操作也是O(lg(n))
特性：

1. 每個節點有一個顏色屬性（紅或黑）
2. 根節點是黑色的
3. 所有的null節點都是黑色的，從任何null節點到根節點所經過的黑色節點數目相同

查找操作與BST是相同的
插入規則如下：

• 按BST的插入方法在null節點上建立新節點，新節點的顏色為紅色
• 如果有右子節點為紅色，則左旋，右子節點變為父節點
• 如果左子節點與左孫節點都為紅色，則進行右旋，左字節的變為父節點
• 如果兩個節點的顏色都為紅色，則翻轉反色

操作流程如下圖所示：

• 圖左為插入節點c，先標記為紅，因為a、c都為紅節點，故顏色反轉
• 中間插入節點a，由於插入後a、b節點都為紅色，按第3條規則需要進行右旋操作，b變成了新的父節點
• 圖右插入節點b，由於b在a的右邊，故先進行左旋，然後又發現a、b同為紅色，再進行右旋

左旋：

左圖為左旋前，右圖為左旋後，代碼如下所示：

private Node rotateRight(Node h){
    assert isRed(h.right);
    Node x = h.right;       // 復制h的 右子樹 為節點x
    h.right = x.left;       // 將x的左子樹移動到h的右節點上（替代）
    x.left = h;             // 將修改後的h節點作為x的左節點（替代）
    x.color = h.color;      // x繼承h的顏色
    h.color = RED;          // 將h節點的顏色設置為紅色
    return x;               // 返回x節點作為新的父節點
}
 

右旋操作與之類似

顏色反轉：

左圖為顏色翻轉前，右圖為操作之後，代碼如下所示：

private void flipColors(Node h){
    assert !isRed(h);
    assert isRed(h.left);
    assert isRed(h.right);
    h.color = RED;              // 將父節點顏色改為紅色
    h.left.color = BLACK;       // 將左右子節點顏色改為黑色，
    h.right.color = BLACK;
}

此處只實現了查找與插入，如要完整實現所有功能（還有刪除），可以采用左傾紅黑樹

Reference

1. wikipedia Red–black tree

2-3 樹/紅黑樹（red-black tree）