8.霍夫變換：線條——投票原理、霍夫空間、線的極座標表示_2
目錄
投票原理
霍夫空間
線的極座標表示
投票原理
就像我之前說的，檢查每一行是不可能的，即使是一臺非常非常快的電腦。
我們要做的是讓資料告訴我們，讓資料決定線在哪裡。
因為這是民主，我們該怎麼辦?
我們要做的是投票。
因此，投票是一種通用的技術，我們讓特性投票給所有與之相容的模型。
它的工作方式很簡單：
1、迴圈遍歷所有特徵（特徵指的是小的邊緣點），每次為模型引數投票。
現在，對於我所需要的大多數特徵來說，都是小的邊緣點。
並且每個邊緣點將對模型引數 或 其滿意 或 一致的不同模型引數集投票。
2、尋找得到大量選票的模型引數。
當我們都完成了第一步，我們接下來需要尋找很多選票的模型引數，這些是我們要例項化的引數模型。
為什麼投票有效?
嗯，投票的作用就像米老鼠、唐老鴨和勞拉·克勞馥永遠不會當選加州州長一樣。
第一：噪聲和雜亂的特性也會投票，就像真實的特性一樣。但通常情況下，他們的投票是跟大多數的優秀特徵不一致。
第二：如果沒有觀察到一些特性，模型可以跨越多個片段。
另一個好處是：
即使圈子的一部分被遮擋而且沒有任何特徵可以投票，因為圈子的其餘部分獲得了很多選票，我們能夠找到圓圈。
我們今天要用的例子是關於擬合線。
為了擬合直線，我們要問幾個問題：
第一個問題：給定屬於直線的點，直線是什麼?
第二個問題：那裡有多少條線？
第三個問題：哪些點屬於哪條線的？
現在我們主要集中在這堂課的第一個問題，事實上，我們將要做的大部分工作，
但是我們正在討論的內容的拓展使得做問題2和問題3時要變得很容易。
我們今天要講的方法叫做霍夫變換（Hough Transform），這是一種投票技術，可以用來回答所有這些問題。
主要思想：
1、每個邊緣點都會投票相容的線條；
2、尋找那些能得到很多選票的線條；
也就是說，它會投票給任何通過它的舊線路，然後你就會尋找得到很多票的線條。
所以可能有兩條，三條，四條線，你可以找到它們。
順便說一下，如果你跟蹤哪個點投給了哪條線，你也可以回去說哪個點屬於那條線。
霍夫空間
我要給你們講一下它是如何工作的，霍夫變換的關鍵是霍夫空間。
這是左邊的影象空間中的一條線，我們要構造的是霍夫空間，右邊是霍夫引數空間。
在這個表述中，我們有兩個引數 m 和 b 。
所以，對於這條直線 ，它在Hough空間中的
，
處表示：
這就是霍夫空間的意義所在。
這裡的關鍵思想是：影象中的直線對應於霍夫空間中的一點。
現在我們要做一些不同的事情。
假設在影象空間中只有一個點，我們把這個點放在（x，y） 處：
那麼，經過這一點的直線的方程是什麼呢?
在影象空間中，我們知道經過這一點的直線滿足 m 和 b。
它會滿足方程 ，為了通過點（
,
）它必須有一個 m 和一個 b 使這個方程成立。
通過一些簡單的代數重排，就得到 ，這是m b空間中直線的方程：
實際上，它是一條斜率為 ，截距為
的直線：
這裡的思想是：影象空間中的一點是霍夫空間中的一條線。
這是對偶性。
如果增加一個點會怎樣?
這是另一條直線：
這是一條直線 ：。
現在有一個很酷的問題：什麼樣的直線是跟這兩點的情況符合的?
它是Hough空間中的這兩條線相交的地方：
因為那是m和b，它與穿過（，
）的線 和 穿過（
，
）的線是一致的。
女士們，先生們，男孩們，女孩們，所有感興趣的人，這就是我們如何從點中找到直線的方法。
現在我們要把它簡化成一個演算法，我們先用圖形來展示給你看，然後再講演算法。
基本上，每個點都給了Hough空間中的一條直線。
我要做的是：我建立一個表格，這裡是m和b，它是由一組箱子組成的：
每一個點都對經過的箱子進行投票，所以它會對經過的每個箱子投一票。
你收集了每個箱子的票數情況。每一個點都投過票，哪一個票數最多，那就是你的路線：
因此，基本上，我們將把選票投進箱子，然後找到最多選票的箱子。求這個點座標就求出直線了。
但這裡是用極座標表示，因為極座標更加細化，我們來看看下面這個例子：
在真正的程式碼和數學中實現這個之前，我們需要重新考慮一下出現以下這種情況該怎麼表示：
這樣的話，會出現好幾條垂直線在一起，斜率m等於無窮大，而截距b怎麼取值呢？
好的，我們要用一個更健壯的線條表示，這樣我們就不會有任何不好的數值問題了。
我們要用的是直線的極座標表示。
線的極座標表示
d：從直線到原點的垂直距離。
垂線與x軸的夾角。
在極座標表示中，這條紫色的線由兩個量定義。
其中一個就是這個距離d，這是一條直線到原點的垂直距離：
它是這條紫色的直線上離原點最近的點的距離。
第二個引數是：這條垂直線與x軸的夾角（），如果你願意，也可以是直線與座標軸的夾角，
沒關係，你只需要選擇一個角度：
基本上我們得到的是一個距離和一個角度的極座標（d，）。
求 d 的距離公式基本上是這樣表示：
這個公式是由直線公式轉換而來：
經過化簡之後，我們可以得出：
這裡的 r 就是 d，也就是極徑的距離。或者稱向某個方向為移動了多少單位。
所以它有點醜，如果你喜歡三角學，那就太美了。如果你喜歡代數，那就太難看了，它比y = mx + b更難看。
但這個公式沒有這個問題，我們的任何直線都是不規則的。你可以有任何你想要的方向，可以任意移動。
你可以直接穿過原點。d可以是0，也可以達到你需要的大小。
有趣的是，如果你看這個方程（影象空間中的點現在是Hough空間中的正弦段），
如果我們已經知道 x 和 y，我們剩下的是 d 和 是正弦曲線：
這就是為什麼我們說：影象空間中的一點現在是霍夫空間的正弦曲線，我們一會兒會看到一個例子。
看，之前，影象空間中的一個點是霍夫空間中的一條線，霍夫空間中的一個點是影象空間中的一條線。
因為我們已經介紹了餘弦（cos）和正弦（sin），它仍然是對偶性，但它不再是簡單的點和線之間的關係。
關於這個的另一個評論，這裡有一個冗餘或歧義。
我這樣畫，這裡是d：
所以如果 d 只能是正的：
這條線必須能夠一路旋轉：
因此 必須從 0 到 2π，也就是 0度 到 360度 。
但如果 d 可以是正的 或 可以是負的：
那麼 只需要從 0 到 π ，也就是 0度 到 180度：
或 0 到 -π，也就是0度 到 -180度。這個想法是你只需要180度的覆蓋範圍。
你用哪種方法做並不重要，我們的演算法會用一種特殊的方式來做。
但是這裡有一個權衡，如果你讓 d 從正 到 負，上面是負的，那麼只有它必須從 0 到 π 。
事實上，如果你將它作為影象的原點，你可以限制更多的東西。
如果你想說直線必須在影象中。然後，它限制了更多，因為它必須切斷象限，因此 和 d 受到更多限制。
但這些只是你在如何編寫演算法方面做出的選擇。
對三角函式加深學習：
學習：sin cos 等函式影象。
對極座標知識加深理解：
https://blog.csdn.net/sw3300255/article/details/82756184
https://blog.csdn.net/sw3300255/article/details/82776368
加深理解霍夫變換原理：
https://www.cnblogs.com/php-rearch/p/6760683.html
https://blog.csdn.net/m0_37264397/article/details/72729423
——學會編寫自己的程式碼，才能練出真功夫。