1. 克拉默法則

這部分我們通過代數方法來求解 \(Ax=b\)。

用 \(x\) 替換單位矩陣的第一列，然後再乘以 \(A\)，我們得到一個第一列為 \(b\) 的矩陣，而其餘列則是從矩陣 \(A\) 中對應列直接拷貝過來的。

利用行列式的乘法法則，我們有

\[|A|(x_1)=|B_1|\]

如果我們想要求 \(x_2\)，那麼將 \(x\) 放在單位矩陣的第二列即可。

\[|A|(x_2)=|B_2|\]

同理，如果 \(det A \not = 0\)，我們可以通過行列式來對 \(Ax=b\) 進行求解。

\[x_1 = \frac{det \space B_1}{det \space A} \quad x_2 = \frac{det \space B_2}{det \space A} \quad \cdots \quad x_n = \frac{det \space B_n}{det \space A}\]

其中 \(B_j\) 就是將矩陣 \(A\) 的第 \(j\) 列替換為向量 \(b\)。

2. 逆矩陣

對於 \(n=2\)，我們通過求解 \(AA^{-1}=I\) 來找到 \(A^{-1}\) 的每一列。

為了解出 \(x\)，我們需要五個行列式。

後面的四個行列式分別為 \(d，-c，-b，a\)，它們分別是矩陣的代數餘子式 \(C_{11}，C_{12}，C_{21}，C_{22}\)。

對任意大小的矩陣都滿足，當右邊是單位矩陣的一列時，克拉默法則中矩陣 \(B_j\) 的行列式是一個代數餘子式。

第一個行列式 \(|B_1|\) 是代數餘子式 \(C_{11}\)

我們可以進行一個簡單的驗證，兩邊同時乘以 \(A\)。

左邊第一行乘以第一列可得

\[a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13} = det \space A\]

第一行乘以第二列可得

\[a_{11}C_{21}+a_{12}C_{22}+a_{13}C_{23} = 0\]

這可以看作是我們將矩陣 \(A\) 的第一行復制到第二行得到另外一個矩陣 \(A^*\)，矩陣 \(A^*\) 有兩行元素相同，其行列式為零。另外，我們注意到矩陣 \(A\)

3. 體積

任何人都知道一個長方形的面積——底乘以高，而一個三角形的面積為底乘以高的一半。但是，如果我們只知道三角形三個頂點的座標為 \((x_1, y_1)，(x_2, y_2)，(x_3, y_3)\)，這時候面積為多少呢？

三角形的面積就是 \(3×3\) 行列式的一半，如果其中一個座標為原點的話，那麼行列式就只有 \(2×2\) 了。

由於平行四邊形的面積是三角形面積的兩倍，因此從原點開始的平行四邊形是一個 \(2×2\) 的行列式。

如果我們能證明平行四邊形的面積和行列式具有一樣的性質，那麼面積就等於行列式。

• 當 \(A = I\) 時，平行四邊形就變成了單位正方形，面積為 \(det I = 1\)。
• 當兩行進行交換的時候，行列式改變符號，但平行四邊形還是原來的平行四邊形，其面積的絕對值沒有改變。
• 當某一行乘以 \(t\) 後，面積就變為原來的 \(t\) 倍。當其中一行不變，而另一行加上 \((x_1', y_1')\) 後，新的平行四邊形的面積就為兩個平行四邊形面積的和。

注意右邊的圖形是一個平面圖形，兩個三角形的面積是一樣的。我畫了一個草圖，可能會更直觀一點。

\[S_{\diamond OCEB} = S_{\diamond OADB}+S_{\diamond ACED} \quad 因為 \quad S_{\triangle BED}=S_{\triangle OCA} \]

這個證明雖然不走尋常路，但是它可以很容易擴充套件到 \(n\) 維中去，它們都滿足行列式的三個基本性質。在三維中，體積等於行列式的絕對值。

4. 叉積

兩個向量的叉積定義為：

叉積得到一個新的向量，這個向量垂直於 \(u\) 和 \(v\)，而且有 \(v×u = -u×v\)。

• 性質 1： \(v×u\) 交換了第二行和第三行，因此有\(v×u = -u×v\)。

• 性質 2： \(v×u\) 垂直於 \(u\) 和 \(v\)。

行列式的三行變成了 \(u\) 、\(u\) 和 \(v\)，因此其值為零。

• 性質 3： 向量和自己的叉積是 0。當 \(u\) 和 \(v\) 平行的時候，它們的叉積也為 0。點積涉及餘弦，叉積涉及正弦。

以 \(u\) 和 \(v\) 為邊的平行四邊形的面積等於它們叉積的模，其實也就是底乘以高。

叉積遵守右手定則，叉積後向量的方向為右手大拇指指向的方向。

\((u×v)\cdot w\) 是一個數字，代表邊為 \(u\) 、\(v\) 和 \(w\) 的立方體的體積。

如果這個積為零，說明 \(u\) 、\(v\) 和 \(w\) 位於一個平面內，體積為零，矩陣是不可逆的，行列式為零。

5. 習題

如果 \(A\) 是奇異矩陣，那麼有

\[AC^T=(det A)I \to AC^T = 0\]

因此， \(C^T\) 的每一列都位於矩陣 \(A\) 的零空間，我們可以通過求解矩陣的代數餘子式來求解 \(Ax=0\)。

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