餐巾計劃問題

不錯的建模題。

滿足餐巾需求之下，花費最小。可以想到費用流。

但是怎麽建模呢？

可以想到，因為N<=2000，而且一切的工作，洗刷，購買都和天有關系。

所以，肯定要把網絡流中的點看做每一天。

比較麻煩的是，我們不好處理餐巾的幹凈和臟的狀態，

如果每天只有“一個點”的話，我們也不能處理一個餐巾由幹凈變成臟的情況。（我們不能區分，一個用完的臟餐巾往下傳遞，和一個幹凈餐巾留到明天）

所以，考慮把天拆點。

那麽，自然而然地，

一天拆成早上和晚上。

晚上會獲得早上用完的臟毛巾

早上有的毛巾必須是幹凈的，才能用。

這樣連邊：

1.S向每個晚上連流ri費0，表示每天晚上會獲得這麽多的臟毛巾

2.每個早上向T連流ri費0，表示每天早上會用這麽多的幹凈毛巾，並且可以限制最大流一定是sigma(ri)

3.購買，洗刷就比較自然了。

①S向每個早上，連接流inf費p，意義即買

②晚上的i，向走早上的i+day1連接流inf費cost1 ，意義即快洗部。慢洗部同理

4.還有一個情況是，可能我臟毛巾留著，等到最後要洗的時候，才拿去洗

所以，晚上i向i+1連流inf費0的邊。

（當然，你也可以比較勤奮，反正以後要用，今天就先洗了。

早上i向i+1連流inf費0的邊也可以。，

意義即，幹凈的毛巾留下來。

其實就是一個平行四邊形。。

黑色是臟毛巾留下來，

紅色是幹凈毛巾留下來。

一個提前洗，一個到時候再洗

）

這樣，

我可以實現：幹凈毛巾轉化成臟毛巾，臟毛巾洗成幹凈毛巾，購買幹凈毛巾，臟毛巾的積累。

跑費用流即可e

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register int
#define il inline
#define numb (ch^‘0‘)
using namespace std;
typedef long long ll;
il void rd(int &x){
    char ch;x=0;bool fl=false;
    while(!isdigit(ch=getchar()))(ch==‘-‘)&&(fl=true
 
);
    for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb);
    (fl==true)&&(x=-x);
}
namespace Miracle{
const int N=4005;
const int M=2000*6+23;
const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3fll;
struct node{
    int nxt,to;
    ll w,v;
}e[2*M];
int hd[N],cnt=1;
int n,m,s,t;
ll p,d1,c1,d2,c2;
void add(int x,int y,ll z,ll c){
    e[++cnt].nxt=hd[x];e[cnt].to=y;
    e[cnt].w=z;e[cnt].v=c;
    hd[x]=cnt;
    
    e[++cnt].nxt=hd[y];e[cnt].to=x;
    e[cnt].w=0;e[cnt].v=-c;
    hd[y]=cnt;
}
int pre[N];
ll incf[N];
ll d[N];
queue<int>q;
bool in[N];
bool spfa(){
    while(!q.empty()) q.pop();
    memset(d,0x3f,sizeof d);
    d[s]=0;
    q.push(s);
    pre[s]=0;incf[s]=inf;
    while(!q.empty()){
        int x=q.front();q.pop();
        in[x]=0;
        for(reg i=hd[x];i;i=e[i].nxt){
            int y=e[i].to;
            if(e[i].w){
                if(d[y]>d[x]+e[i].v){
                    d[y]=d[x]+e[i].v;
                    pre[y]=i;
                    incf[y]=min(incf[x],e[i].w);
                    if(!in[y]){
                        in[y]=1;
                        q.push(y);
                    }
                }
            }
        }
    }
    if(d[t]==inf) return false;
    return true;
}
ll ans;
void upda(){
    int x=t;
    while(pre[x]){
        e[pre[x]].w-=incf[t];
        e[pre[x]^1].w+=incf[t];
        x=e[pre[x]^1].to;
    }
    ans+=d[t]*incf[t];
}
int main(){
    rd(n);
    s=2*n+1,t=2*n+2;
    ll x;
    for(reg i=1;i<=n;++i){
        scanf("%lld",&x);
        add(s,i,x,0);
        add(i+n,t,x,0);
    }
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&p,&d1,&c1,&d2,&c2);
    for(reg i=1;i<=n;++i){
        add(s,i+n,0x3f3f3f3f,p);
        if(i+d1<=n) add(i,i+n+d1,inf,c1);
        if(i+d2<=n) add(i,i+n+d2,inf,c2);
        if(i+1<=n) add(i,i+1,inf,0);
    }
    while(spfa()) upda();
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

}
int main(){
    Miracle::main();
    return 0;
}

/*
   Author: *Miracle*
   Date: 2018/11/28 8:21:33
*/

總結：

為什麽要拆點？

因為同一個物品在不同時空下的狀態是不同的，之間的決策也相對獨立，甚至可能存在相互轉移的情況。

當一個點表示已經無能為力的時候，可以考慮拆點。

例如修車、美食節

（化點為邊，，，，嚴格意義上不算是，這只是為了方便統計處理，並不是狀態不同）

只要能處理好拆出來的點之間的關系就好。

[網絡流24題]餐巾計劃問題——費用流建模