二叉堆（Binary Heap）

（1）structure property

Heap（堆）是一個除了底層節點外的完全填滿的二叉樹，底層可以不完全，左到右填充節點。（a heap is a binary tree that completely filled, with the exception of bottom level, which is filled from left to right.）這樣的樹叫做完全二叉樹。

完全二叉堆的通俗解釋為： 上層節點全滿時，下層才能有節點；且下層節點必須是從左往右新增的。

一個高度為h 的完全二叉樹應該有以下的性質：

a) 有2^h到2^h-1個節點

b) 完全二叉樹的高度為[logN](向下取整)

c)他的左子節點在2*i，右子節點在（2*i+1）

d) 它的父節點在【i/2】(向下取整)

二叉堆是一種邏輯上的資料結構，而它是由陣列來實現的。

下圖顯示了完全二叉樹與陣列的對應關係：

（2）heap order property

有兩種結構：最大堆和最小堆。 最大堆：父結點的鍵值總是大於或等於任何一個子節點的鍵值；最小堆：父結點的鍵值總是小於或等於任何一個子節點的鍵值。示意圖如下：

java裡面，大家熟知的Queue介面中的PriorityQueue，它就是最小堆最好的例子。

其實從這裡可以看出，堆的兩條性質：（a）完全二叉樹；（b）父節點小於後繼子節點

（3）堆的操作

• 插入

如果要在二叉堆中插入或刪除一個元素，必須保證堆性質仍能滿足。

新插入的節點new 放在完全二叉樹最後的位置，再和父節點比較。如果new節點比父節點小，那麼交換兩者。交換之後，繼續和新的父節點比較…… 直到new節點不比父節點小，或者new節點成為根節點。這樣得到的樹，就恢復了堆的性質。

圖

• 刪除

刪除操作一定是踢出陣列的第一個元素（即根節點），這麼來第一個元素以前的位置就成了空位，讓最後一個節點 last成為新的節點，從而構成一個新的二叉樹。再將last節點不斷的和子節點比較。如果last節點比兩個子節點中小的那一個大，則和該子節點交換。直到last節點不大於任一子節點都小，或者last節點成為葉節點。

End！

二叉堆