滑雪

Description

Michael喜歡滑雪百這並不奇怪， 因為滑雪的確很刺激。可是為了獲得速度，滑的區域必須向下傾斜，而且當你滑到坡底，你不得不再次走上坡或者等待升降機來載你。Michael想知道載一個區域中最長底滑坡。區域由一個二維陣列給出。陣列的每個數字代表點的高度。下面是一個例子

 1  2  3  4 5

16 17 18 19 6

15 24 25 20 7

14 23 22 21 8

13 12 11 10 9

一個人可以從某個點滑向上下左右相鄰四個點之一，當且僅當高度減小。在上面的例子中，一條可滑行的滑坡為24-17-16-1。當然25-24-23-...-3-2-1更長。事實上，這是最長的一條。

Input

輸入的第一行表示區域的行數R和列數C(1 <= R,C <= 100)。下面是R行，每行有C個整數，代表高度h，0<=h<=10000。

Output

輸出最長區域的長度。

Sample Input

5 5
1 2 3 4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9

Sample Output

25

方法一： 記憶化搜尋

狀態  表示 以 (i,j) 為最低點的 最長 長度

code:

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<vector>
#include<map>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N = 105;
int R,C;
int dp[N][N];
int a[N][N];

// 判斷合法性
int ok(int i, int j){
    if(i >= 1 && i <= R && j >= 1 && j <= C)
        return true;
    return false;
}

int max_h;
// 在相鄰的 不越界的位置記憶化搜尋 每次搜尋 表示 當前位置為最低點 的最長長度
int rec(int i, int j){
    if(dp[i][j] != 1)
        return dp[i][j];
    int &ans = dp[i][j];
    if(ok(i+1,j) && a[i+1][j] > a[i][j])
        ans = max(ans,rec(i+1,j) + 1);
    if(ok(i-1,j) && a[i-1][j] > a[i][j])
        ans = max(ans,rec(i-1,j) + 1);
    if(ok(i,j+1) && a[i][j+1] > a[i][j])
        ans = max(ans,rec(i,j+1) + 1);
    if(ok(i,j-1) && a[i][j-1] > a[i][j])
        ans = max(ans,rec(i,j-1) + 1);
    return ans;
}

int main()
    {
        while(scanf("%d%d",&R,&C) != EOF){
            max_h = 0;
            for(int i = 1; i <= R; ++i){
                for(int j = 1; j <= C; ++j){
                    scanf("%d",&a[i][j]);
                    dp[i][j] = 1;
                }
            }

           for(int i = 1; i <= R; ++i){
                for(int j = 1; j <= C; ++j){
                    max_h = max(rec(i,j),max_h);  //每一次 的rec(i,j) 是以 (i,j) 為終點的 最長路徑 不需要重新初始化
                }
           }
            printf("%d\n",max_h);
        }

        return 0;
    }
 

此題 記憶化 搜尋速度較快

方法二：記錄每個高度的座標，對高度從小到大排序，然後進行dp

定義狀態:

  為 以  為最高點 的最長長度 

狀態轉移方程：

其中 ：    為 與   相鄰的 並且 高度低於   的 

code:

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<vector>
#include<map>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<cmath>
using namespace std;

const int N = 105;
struct H{
    int h,x,y;
    H(){}
    H(int ph,int px,int py):h(ph),x(px),y(py){}
    bool operator<(const H o)const {
        return h < o.h;
    }
};
H hs[N*N];
int dp[N*N];
int my_abs(int a, int b){
    return a > b ? a-b : b-a;
}

bool adj(int x1,int y1, int x2, int y2){
    if(x1 == x2 && my_abs(y1,y2) == 1)
        return true;
    if(y1 == y2 && my_abs(x1,x2) == 1)
        return true;
    return false;
}

int main()
    {
        int R,C;
        int h;
        while(scanf("%d%d",&R,&C) != EOF){
            int cnt = 1;
            for(int i = 1;i  <= R; ++i){
                for(int j = 1; j <= C; ++j){
                    scanf("%d",&h);
                    hs[cnt++] = H(h,i,j);
                }
            }
            memset(dp,0,sizeof(dp));
            sort(hs+1,hs+cnt);
            for(int i = 1; i <= R*C; ++i){ // 初始化
                dp[i] = 1;
            }
            int ans = 0;
            for(int i = 1; i <= R*C; ++i){
                for(int j = 1; j < i; ++j){
                    if(adj(hs[i].x,hs[i].y,hs[j].x,hs[j].y) && hs[i].h > hs[j].h){ // 相鄰 且高度上升
                        dp[i] = max(dp[i],dp[j] + 1);
                    }
                }
                ans = max(ans,dp[i]);
            }
            printf("%d\n",ans);
        }


        return 0;
    }

這種方法 很耗時，要 800ms 才AC,其實 不需要遍歷 從i 到 j 找相鄰點，可以直接判斷相鄰點滿足條件與否，下面是改進

可以在 32ms甚至 16ms AC。

方法二的優化：

狀態    位置   為最高點 的 最長路徑

狀態轉移：

其中   為 與   相鄰 並且 高度小於 位置  的點。

注意：這裡 與 (i,j) 相鄰 並且高度 低於  的點 一定位於 遞推式的 第 步之前。（因為 已經按照高度排序了）

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<vector>
#include<map>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N = 105;

int a[N][N];
int dp[N][N];
struct H{
    int h,x,y;
    H(){}
    H(int ph,int px, int py):h(ph),x(px),y(py){}
    bool operator<(const H o)const{
        return h < o.h;
    }
};
H hs[N*N];
int dir[4][2] = {{-1,0},{0,1},{1,0},{0,-1}};
/*
    優化的地方：
    用 a[][] 陣列 初始化 為 -1 可以快速 判斷 是否越界 （輸入完成後越界的為 -1 非越界的不為 -1）
    不再是 從 j 遍歷到 i 找與 i 相鄰 的節點 而是 直接從相鄰點中找滿足條件的(高度更小、不越界) 這樣會快 很多
*/
int main()
    {
            int R,C;
            scanf("%d%d",&R,&C);
            memset(a,-1,sizeof(a));
            int h;
            int cnt = 1;
            for(int i = 1; i <= R; ++i){
                for(int j = 1; j <= C; ++j){
                    scanf("%d",&h);
                    hs[cnt++] = H(h,i,j);
                    a[i][j] = h;
                }
            }
            sort(hs+1,hs+cnt);
            //fill(dp[0],dp[0]+N*N,1); // 如果 不初始化為 1 則結果需要加 1 （自身）  
            int curx,cury,nx,ny,curh;
            int ans = 0;
            for(int i = 1; i < cnt; ++i){
                curx = hs[i].x; cury = hs[i].y; curh = hs[i].h;
                for(int k = 0; k < 4; ++k){
                    nx = curx + dir[k][0];
                    ny = cury + dir[k][1];
                    if(a[nx][ny] != -1 && a[nx][ny] < curh) // 滿足 不越界 並且相鄰 然後 高度小於當前高度的 肯定在前面 也就是 已經計算過了的之前狀態
                        dp[curx][cury] = max(dp[curx][cury],dp[nx][ny] + 1);
                }
                ans = max(ans,dp[curx][cury]);
            }
            printf("%d\n",ans+1);

        return 0;
    }