演算法分析

• 兩個主要方面：

                 正確性：演算法的功能與問題要求一致？

                                 數學證明？可不那麼簡單...

                   成本：執行時間 + 所需儲存空間

                                如何度量？如何比較？

• 考察：（P）=演算法A求解問題例項P的計算成本

                                 意義不大，畢竟...可能出現的問題實列太多

                                 如何歸納概括？

• 觀察：問題例項的規模，往往是決定計算成本的主要因素
• 通常：規模接近，計算成本也接近

                    規模擴大，計算成本亦上升

特定演算法 + 不同實列

• ​​​​​​令（n)=用演算法A求解某一問題規模為n的實列，所需的計算成本討論特定演算法A(及其對應的問題）時，簡記作T（n）
• 然而，這一定義仍有問題...
• 觀察：同一問題等規模的不同實列，計算成本不盡相同，甚至有實質差別
• 例如：在平面上的n個點中，找到所成三角形面積最小的三個點。

                    以蠻力演算法為例，最壞情況下需列舉所有（n，3）種組合。

                    但運氣好的話...可能只需一次就找到（三個點幾乎在一條線上，面積無限接近於0）。

• 既然如此，又該如何定義T（n）呢？
• 穩妥起見，取T（n）= max { T（p） |   |p| = n }，亦即，在規模相同為n的所有例項中，只關注最壞（成本最高）者

特定演算法 + 不同演算法

• 同一問題通常有多種的演算法，如何評判其優劣？
• 實驗統計是最直接的方法，但足以準確反映演算法的真正效率嗎？
• 不足夠！！！

                                不同演算法，可能更適應於不同規模的輸入

                                不同的演算法，可能更適應與不同型別的輸入

​​​​​​​                                同一演算法，可能由不同的程式設計師

，用不同程式語言，經不同編譯器實現

​​​​​​​                                同一演算法，可能實現並運行於不同的體系結構，作業系統...

• 為給出客觀的評判，需要抽象出一個理想的平臺或模型

​​​​​​​​​​​​​​                                不再依賴於上述種種具體的因素

​​​​​​​                                從而直接而準確地描述，測量並評價演算法

TM：Turing Machine （圖靈機）

 

• Tape   依次均勻地劃分為單元格，各注有某一字元，預設為‘#’ 
• Alphabet   字元的種類有限
• Head  總是對準某一單元格，並可讀取和改寫其中的字元       

                    每經過一個節拍，可轉向左側或右側的鄰格

• State   TM總是處於有限種狀態中的某一種

                    每經過一個節拍，可（按照規則）轉向另一種狀態

• Transition Function ：（ q，c；d，L/R，p）

                 若當前狀態為q且當前字元為c,則當前字元改寫為d；轉向左側/右側的鄰格；轉入p狀態，一旦轉入待定的狀態'h'，則停機

TM：Increase

• 功能：

                   將二進位制非負整數加一

• 演算法：

                   全'1'的字尾翻轉為全'0'

                   原最低位的'0'或’#'翻轉為'1'     

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