資料結構與演算法學習筆記之高效、簡潔的編碼技巧“遞迴”
前言
盜夢空間想象大多數人都看過：電影講述的是主人公諾蘭進入希裡安·墨菲夢境植入想法的行動。為了向希裡安·墨菲夢植入理念，影片進入四層夢境，即所謂：“夢中的夢中 夢中人的夢中”。
有一對兔子，每隔三個月會產下一對小兔子，小免子每隔三個月，也會產生新的一對免子，問36個月後，共有多少對兔子。
諸如此類：其實就是“遞迴”，今天就一起進入“遞迴”的世界看看
正文
一、遞迴的定義
1.遞迴是一種應用廣泛的演算法，既能運用到軟體開發中成為高效、簡潔的編碼技巧也能應用到生活中解決實踐遞迴問題，比如DFS深度優先搜尋、前中後序二叉樹遍歷等，又比如計算不斷繁衍的後臺個數等等；
2.程式呼叫自身的方式稱為遞迴呼叫，去呼叫的過程稱為遞，回來的過程稱為歸。
3.基本上，所有的遞迴問題都可以用遞推公式來表示，比如
f(n) = f(n-1) + 1;
f(n) = f(n-1) + f(n-2);
f(n)=n*f(n-1);
二、為什麼使用遞迴？
1.遞迴在解決某些問題的時候使得我們思考的方式得以簡化，程式碼也更加精煉，容易閱讀
2.遞迴在處理問題時要反覆呼叫函式，這增大了它的空間和時間開銷，空間複雜度高、有堆疊溢位風險、存在重複計算、過多的函式呼叫會耗時較多等問題。
三、什麼樣的問題可以用遞迴解決呢？
一個問題只要同時滿足以下3個條件，就可以用遞迴來解決：
1.問題的解可以分解為幾個子問題的解。何為子問題？就是資料規模更小的問題。
2.問題與子問題，除了資料規模不同，求解思路完全一樣
3.存在遞迴終止條件，不能無限迴圈。
四、如何實現遞迴
1.遞迴程式碼編寫
寫遞迴程式碼的關鍵就是將大問題分解為小問題，寫出遞推公式，找出終止條件，最後將遞推公式和終止條件翻譯成程式碼。
舉一個栗子：
假如這裡有n個臺階，每一次你可以跨過一或二個臺階，請問有幾種走法？
根據第一步的走法把走法分為兩類，第一步走一個臺階或者走兩個臺階，所以n個臺階的走法就等於先走一階的走法加上先走兩個臺階的走法，遞迴公式為：
f(n) = f(n-1)+f(n-2)
當只有一個臺階時，我們就不需要遞迴了，所以終止條件為：
f（1）=1
但是隻有它還不足夠，n=2時，f（2）=f（1）+f（0）還有f(0)=1,也就是第0階也要有一種走法，不和邏輯，所以終止條件還有一個：
f（2）=2
編寫為程式碼為：
int f(int n) {
if (n == 1) return 1;
if (n == 2) return 2;
return f(n-1) + f(n-2);
}
2.遞迴程式碼理解
對於遞迴程式碼，若試圖想清楚整個遞和歸的過程，實際上是進入了一個思維誤區。
那該如何理解遞迴程式碼呢？如果一個問題A可以分解為若干個子問題B、C、D，你可以假設子問題B、C、D已經解決。而且，你只需要思考問題A與子問題B、C、D兩層之間的關係即可，不需要一層層往下思考子問題與子子問題，子子問題與子子子問題之間的關係。遮蔽掉遞迴細節，這樣子理解起來就簡單多了。
因此，理解遞迴程式碼，就把它抽象成一個遞推公式，不用想一層層的呼叫關係，不要試圖用人腦去分解遞迴的每個步驟。
五、遞迴常見問題及解決方案
1.警惕堆疊溢位：可以宣告一個全域性變數來控制遞迴的深度，從而避免堆疊溢位。
程式碼實現：
// 全域性變數，表示遞迴的深度。
int depth = 0;
int f(int n) {
++depth；
if (depth > 1000) throw exception;
if (n == 1) return 1;
return f(n-1) + 1;
}
2.警惕重複計算：通過某種資料結構來儲存已經求解過的值，從而避免重複計算。
如用散列表來儲存已存在的值，改寫上面的程式碼如下：
public int f(int n) {
if (n == 1) return 1;
if (n == 2) return 2;
// hasSolvedList 可以理解成一個 Map，key 是 n，value 是 f(n)
if (hasSolvedList.containsKey(n)) {
return hasSovledList.get(n);
}
int ret = f(n-1) + f(n-2);
hasSovledList.put(n, ret);
return ret;
}
（程式碼來源於網路）
六、如何將遞迴改寫為非遞迴程式碼？
籠統的講，所有的遞迴程式碼都可以改寫為迭代迴圈的非遞迴寫法。如何做？抽象出遞推公式、初始值和邊界條件，然後用迭代迴圈實現。
將上面的程式碼實現如下：
int f(int n) {
if (n == 1) return 1;
if (n == 2) return 2;
int ret = 0;
int pre = 2;
int prepre = 1;
for (int i = 3; i <= n; ++i) {
ret = pre + prepre;
prepre = pre;
pre = ret;
}
return ret;
}
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