引入

在講線性方程組之前，我們先來講一個人：列昂惕夫 。當年他可是獲得了諾貝爾獎了。 我們先來看看大佬長啥樣的，喏，瞅下邊： $\qquad\qquad\qquad\qquad\quad$

1949年的時候他好像待哈佛來著，用的是MarkⅡ計算機。這臺計算機是在1946年的時候研製成功的，雖然我不知道為什麼百科只收錄了Mark 1號，但它確實存在。…咳咳，扯遠了，列昂惕夫當時是把含500多個未知量的500多個方程的方程組提煉成只有42個未知量的42個方程組，然後丟到MarkⅡ上讓它算，經過兩天兩夜零8小時，MarkⅡ終於把結果給吐出來了。咳咳，準確的來說，是終於求出了一個解，你想想，42個未知量的要求那麼長時間，你要是500個未知量丟進去，那要算到猴年馬月，當然，事實是當時的計算機根本處理不了含500個未知量的方程，不然要是我就算1000個我也會丟進去，自己去喝喝茶，聽個小曲兒，日子活得也比整天窩稿紙上計算滋潤的多不是。

後面可能還會提到他，畢竟連他獲得諾貝爾經濟學獎的投入產出分析方法這裡都沒講呢，當然，我好像忘了說他是經濟學家了。

線性方程組

當然，線性方程組你也可以叫它線性模型，這都無所謂啦

線性方程

一個包含$x_1,x_2......,x_n$的線性方程具有如下形式： $\begin{array}{c}a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=b \\ \end{array}$

$\mathrm{其}\mathrm{中}\mathrm{的}{a}_1\mathrm{、}{a}_2\mathrm{、}\cdots a_n\mathrm{、}b\mathrm{均}\mathrm{為}\mathrm{實}\mathrm{數}\mathrm{或}\mathrm{者}\mathrm{復}\mathrm{數}\mathrm{，}\mathrm{通}\mathrm{常}\mathrm{為}\mathrm{已}\mathrm{知}\mathrm{量}\mathrm{，}\mathrm{該}\mathrm{方}\mathrm{程}$

為n元一次方程其中 的a_1、a_2、\cdots a_n、b 均為實數或者複數，通常為已知量，該方程為n元一次方程

線性方程組

一個線性方程組或者線性系統是n個線性方程的集合: $\left\{ \begin{array}{c} a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=d_1 \\ b_1x_1+b_2x_2+\cdots+b_nx_n=d_2 \\ \vdots\\ c_1x_1+c_2x_2+\cdots+c_nx_n=d_m \end{array} \right.$

如果兩個方程組的解集相同，我們稱這兩個方程組等價

接下來我們回到線性代數的核心內容：求解線性方程組

解線性方程組

我們先用兩個變數的方程組為例： $\left\{ \begin{array}{c} x_1-2x_2=-1 \\ -x_1+3x_2=3 \\ \end{array} \right.$

行影象: 每個行影象顯示一個方程，這是大家熟悉的了，二元一次方程的行影象就是一條二維平面的直線， 三元一次方程的行影象就是一個三維平面。當然還有更高維度（多元一次），我們一般叫超平面。

上面那兩個方程肯定都是線性方程啦，在方程組的任意一個方程中$x_1$和$x_2$之間都是線性關係，所以影象必然是直線。

而這個方程組有兩個方程，所以方程組的解必須同時滿足兩條直線，即兩個方程解集便是該方程組的解集的交集。

在二元問題上，兩條直線交集有如下三種情況：

沒有交點：兩條直線平行且不重合 一個交點：兩條直線交叉 無窮個交點：兩條直線重合 即一個線性方程組的解會有如下三種狀況：

$1、 無解\qquad\qquad2、有唯一解\qquad\qquad3、有無窮多解$

二元一次方程組如果只有一個解，那便是是直線的交點；而三元一次方程組如果只有一個解，那便是三個平面的交點。>$\qquad\qquad$ $\qquad\qquad$ $\qquad\quad$

線上性代數中，如果方程組有解（包括唯一解和無窮解），稱為相容; 無解，則稱為不相容。

對於相容與不相容，我們可以從字面理解，方程組內的方程之間不相容，有矛盾，必然無解，反之，沒有矛盾，即相容，便有解

所以說，線性方程組的兩個基本問題也就出現了： 解的存在性與唯一性問題： $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ \left(1\right) 方程組是否相容（即是否至少存在一個解）？ \\\left(2\right)若解存在，其是否唯一？\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \\\qquad$

解方程

說了那麼多，我們還是該想想最基本的問題，怎麼得到方程的解。 當然了，前面寫成方程組的形式，大家可能就知道該怎麼解方程了，消元嘛： $\left\{ \begin{array}{c} x_1-2x_2=-1 \qquad\left(1\right) \\ -x_1+3x_2=3 \qquad\left(2\right) \\ \end{array} \right. \\\qquad\\ \left(1\right) +\left(2\right)消去\left(2\right)中的x_1，得：\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\\qquad\\ \left\{ \begin{array}{c} x_1-2x_2=-1 \qquad\left(3\right) \\ \qquad x_2=2 \qquad\left(4\right) \\ \end{array} \right. \\\qquad\\ 2 \times \left(4\right) +\left(3\right)消去\left(3\right)中的x_2，得：\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\\qquad\\ \left\{ \begin{array}{c} x_1\qquad= 3\qquad\left(5\right) \\ \qquad x_2=2 \qquad\left(6\right) \\ \end{array} \right. \\$ 至此，我們便求解出了方程組的解。當然了，這個方程組只有唯一解。

我們得總結一下，這個過程中，我們只做了一件事： $\qquad\left(1\right) 替換：用另一行的n倍加到某行上，將原來那一行替換掉$

我們從（2）式開始替換，直到將其變成最簡形式，這個過程我們可以稱為正向階段，然後再用最簡的式子回代，直到（1）式最簡，然後我們便解出了方程，這個回代過程我們則稱為反向階段。在後面我們還會提到，大家留個印象。

有點囉嗦了，上面這些都是大家初高中熟悉的了，接下來，我們引入矩陣表示：

矩陣記號

$\left\{ \begin{array}{c} x_1-2x_2+x_3=0 \\ \qquad2x_2-8x_3=8\\ -4x_1+5x_2+9x_3=-9 \\ \end{array} \right.$ 我們將方程組的主要學習記錄在矩陣中，如係數： 該方程組的係數矩陣： $\left[ \begin{array}{c} 1&-2&1\\ 0&2&-8\\ -4&5&9 \end{array} \right]$