四邊形不等式演算法證明

阿新 • • 發佈：2018-12-14

ps:本人小白，文章可能存在錯誤，希望大佬諒解或指出錯誤

先來看一道常規的區間dp，在這裡以石子合併為例題

題目描述：

有N堆石子排成一排，每堆石子有一定的數量。現要將N堆石子併成為一堆。合併的過程只能每次將相鄰的兩堆石子堆成一堆，每次合併花費的代價為這兩堆石子的和，經過N-1次合併後成為一堆。求出總的代價最小值。

輸入

有多組測試資料，輸入到檔案結束。
每組測試資料第一行有一個整數n，表示有n堆石子。
接下來的一行有n（0< n <200）個數，分別表示這n堆石子的數目，用空格隔開

輸出

輸出總代價的最小值，佔單獨的一行

樣例輸入

3
1 2 3
7
13 7 8 16 21 4 18

樣例輸出

9
239

先來個樸素版本的：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 205;
int n, x;
int sum[maxn];
int dp[maxn][maxn];
int main()
{
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        sum[0] = 0;
        memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
        for(int i = 1;i <= n;i ++)
        {
            scanf("%d", &x);
            sum[i] = sum[i - 1] + x;
            dp[i][i] = 0;
        }
        for(int len = 2;len <= n;len ++)
        for(int i = 1;i <= n;i ++)
        {
            int j = i + len - 1;
            if(j > n) continue;
            for(int k = i;k < j;k ++)
            {
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k]+dp[k+1][j] + sum[j] - sum[i-1]);
            }
        }
        printf("%d\n", dp[1][n]);
    }
    return 0;
}

其中的區間dp演算法不必說，是O(n^3)的。那麼能不能優化呢，肯定是可以的，這就是要說的四邊形不等式優化。社s[i, j]是 i 到 j 的最佳分割點，由四邊形不等式我們可以得知第三重迴圈尋找最佳分割點的範圍就可以從(i, j)壓縮到(s[i, j - 1], s[i + 1, j])，這樣就可以優化到O(n^2)。程式碼如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 205;
int n,x;
int sum[maxn];
int dp[maxn][maxn];
int s[maxn][maxn];
int main()
{
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        sum[0] = 0;
        memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
        for(int i = 1;i <= n;i ++)
        {
            scanf("%d",&x);
            sum[i] = sum[i-1] + x;
            dp[i][i] = 0;
            s[i][i] = i;
        }
        for(int len = 2;len <= n;len ++)
        for(int i = 1;i <= n;i ++)
        {
            int j = i + len - 1;
            if(j > n) continue;
            for(int k = s[i][j-1];k <= s[i+1][j];k ++)
            {
                if(dp[i][k] + dp[k + 1][j] + sum[j] - sum[i-1] < dp[i][j])
                {
                    dp[i][j] = dp[i][k] + dp[k + 1][j] + sum[j] - sum[i - 1];
                    s[i][j] = k;
                }
            }
        }
        printf("%d\n",dp[1][n]);
    }
    return 0;
}

我們先來了解一下四邊形不等式

設m[i,j]表示動態規劃的狀態量（就是i -> j 的最優解）

m[i,j]有類似如下的狀態轉移方程：

m[i,j]=opt{m[i,k]+m[k,j]}(i≤k≤j)

如果對於任意的a≤b≤c≤d，有m[a,c]+m[b,d]≤m[a,d]+m[b,c]，那麼m[i,j]滿足四邊形不等式。

這是使用四邊形不等式優化的前題，只有先證明它滿足這個條件才可以使用（一般用數學歸納法證明）

四邊形不等式的證明(這裡以求min為例)：

證明 s[i, j - 1] ≤ s[i, j] ≤ s[i + 1, j]

設 d = s[i, j] i + 1 ≤ k < d (d代表 i 到 j 的最優分割點)

顯然 $m_{k}[i, j] = m[i, k] + m[k, j]$