二維旋轉變換

下面是一個簡單的繞原點旋轉變換的圖。

關於圖形變換我們關注的都是怎麼得到變換之後的座標，而對於變換後的座標，很多教材上都只有一個簡略的結果，並不會給出詳細的推導過程。今天學習旋轉變換的時候，對怎麼得出變換後的座標產生了疑惑，花了幾分鐘才想明白，特此記錄一下。

我們不妨設變換前圖形上任意一點的座標為 P(x, y)，變換後圖形上對應點座標為 P’(x’ ,y’) 。對於旋轉變換來說，我們不妨設旋轉角度為 θ。我們現在就來推導一下如何得到 x’ 和 y’。（應該還有更好的證法） 由旋轉的性質我們毫無疑問可以得知 OP = OP’ = $\sqrt{x^2 + y^2} = d$

其座標變換矩陣如下 $\begin{bmatrix} cos\theta & sin\theta & 0 \\ -sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

三維旋轉變換

以下都是往逆時針方向旋轉

分別繞三根座標軸旋轉的時候，有一個座標是不變的，然後我們把另外兩個當成二維的算就行，我們可以分別得出對應的座標變換矩陣：

繞 z 軸旋轉

$\begin{bmatrix} cos\theta & sin\theta & 0 & 0 \\ -sin\theta & cos\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

繞 x 軸旋轉

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cos\theta & sin\theta & 0 \\ 0 & -sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

繞 y 軸旋轉

$\begin{bmatrix} cos\theta & 0 & -sin\theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ sin\theta & 0 & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

總結

我們不難發現核心部分基本和二維都是差不多的，除了繞 y 軸旋轉的那個 sinθ 的正負號反了。那麼我們有沒有想過為什麼就它是反的呢？一個歪理如下：因為核心部分被分開了 ? 以下結論對初始點在兩軸正方向成立，對旋轉角度也有一定要求：

• 對於繞 z 軸旋轉，觀察到 x 一直在減小
• 對於繞 x 軸旋轉，觀察到 y 一直在減小
• 對於繞 y 軸旋轉，觀察到 z 一直在減小

而座標變換矩陣中，誰減小，負號就在誰的 sinθ 那裡。

• 二維座標變換補圖