這是Strang教授的第九講，講解的內容是線性相關性、基的概念和維數的概念。

背景知識

        對於未知數個數大於方程個數的線性方程組，我們知道對於Ax=0一定有非零解，原因是在消元過程中一定存在自由變數。

線性相關性

        定義1：對於向量,如果當且僅當=0成立，那麼向量線性無關。

        定義2：如果是矩陣A的列向量，當且僅當Ax=0只有0解時，線性無關。

        定義2也可以表述為，矩陣A的列向量線性無關當且僅當N(A)=0。如果A的列向量線性無關，那麼A一定是列滿秩的，rank(A)=n。

生成向量空間

        定義：A set of vectors spans a space if their linear combinations fill the space.

        定義的解釋：如果有一組向量，它們生成的向量空間是隻包含全部線性組合的向量空間。比如，A的列空間是A的列向量生成的向量空間；A行空間是由A的行向量生成的向量空間。

基

        基的概念是和向量空間聯絡在一起的，它的定義：

        向量空間的一組“基”是指：一組向量，這一組向量包含如下兩個性質：1.它們線性無關；2.他們生成了整個向量空間。

例如，（1，0）、（0，1）是的一組基；（1，0，0）、（0，1，0）、（0，0，1）是的一組基。

        根據“基”的定義，可以知道對於的一組基有n個線性無關的向量，他們組成的nxn矩陣可逆。向量空間可以有對組基，但他們的向量個數相同。

維數

        定義：向量空間的維數是向量空間任意一組基的向量個數。

根據基和維數的概念可以推匯出關於矩陣A的如下一些事實：1. A的列空間的維數;2.A的零空間的維數。

線性相關性、基、維數這些概念並不僅僅只適用於向量空間，也可以延展到矩陣空間和函式空間，書上有舉例介紹。本節課講解了幾個概念，但他們都很重要，需要理解清楚。

        本節課的內容對應《INTRODUCTION TO LINEAR ALGEBRA》3.5章節。