【CF438E】小朋友和二叉樹解題報告

阿新 • • 發佈：2018-12-17

【CF438E】小朋友和二叉樹

Description

我們的小朋友很喜歡電腦科學，而且尤其喜歡二叉樹。
考慮一個含有\(n\)個互異正整數的序列\(c_1,c_2,\dots,c_n\)。如果一棵帶點權的有根二叉樹滿足其所有頂點的權值都在集合\(\{c_1,c_2,\dots,c_n\}\)中，我們的小朋友就會將其稱作神犇的。並且他認為，一棵帶點權的樹的權值，是其所有頂點權值的總和。
給出一個整數\(m\)，你能對於任意的\(s(1≤s≤m)\)計算出權值為\(s\)的神犇二叉樹的個數嗎？請參照樣例以更好的理解什麼樣的兩棵二叉樹會被視為不同的。
我們只需要知道答案關於\(998244353\)

取模後的值。

Input

第一行有\(2\)個整數 \(n,m(1≤n≤10^5,1≤m≤10^5)\).
第二行有\(n\)個用空格隔開的互異的整數 \(c_1,c_2,…,c_n(1≤c[i]≤10^5)\).

Output

輸出\(m\)行，每行有一個整數。第\(i\)行應當含有權值恰為\(i\)的神犇二叉樹的總數。請輸出答案關於\(998244353\)取模後的結果。

考慮\(DP\)，設\(f_i\)代表權值為\(i\)的二叉樹的個數,\(C_i\)代表是否存在權值為\(i\)的節點

\[f_n=\sum_{i=1}^nC_i\sum_{j=0}^{n-i}f_jf_{n-i-j}\]

\[f_0=1\]

然後我們發現長得很像卷積，但是沒法好好卷自己。

於是構造一波生成函式，直接表示為係數就行了

\[F=C*F*F+1\]

關於這個\(+1\)，我的理解是，加了一個常數項為\(1\)的多項式表示\(f_0=1\)

然後解一下二次方程，得到

\[F=\frac{1 \pm \sqrt{1-4C}}{2C}\]

然後討論一下發現需要取+

再次化簡

\[F=\frac{2}{1+\sqrt{1-4C}}\]

套用多項式求逆+開根就可以了

Code:

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
const int N=(1<<20)+10;
const int mod=998244353,Gi=332748118,i2=499122177;
int read()
{
    int x=0;char c=getchar();
    while(!isdigit(c)) c=getchar();
    while(isdigit(c)) {x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x;
}
#define add(x,y) ((x+y)%mod)
#define mul(x,y) (1ll*(x)*(y)%mod)
int qp(int d,int k){int f=1;while(k){if(k&1)f=mul(f,d);d=mul(d,d),k>>=1;}return f;}
int C[N],sq[2][N],b[2][N],A[N],B[N],turn[N];
void NTT(int *a,int len,int typ)
{
    for(int i=1;i<len;i++) if(i<turn[i]) std::swap(a[i],a[turn[i]]);
    for(int le=1;le<len;le<<=1)
    {
        int wn=qp(typ?3:Gi,(mod-1)/(le<<1));
        for(int p=0;p<len;p+=le<<1)
        {
            int w=1;
            for(int i=p;i<p+le;i++,w=mul(w,wn))
            {
                int tx=a[i],ty=mul(w,a[i+le]);
                a[i]=add(tx,ty);
                a[i+le]=add(tx,mod-ty);
            }
        }
    }
    if(!typ)
    {
        int inv=qp(len,mod-2);
        for(int i=0;i<len;i++) a[i]=mul(a[i],inv);
    }
}
void polymul(int *a,int *b,int len)
{
    int L=-1;for(int i=1;i<len;i<<=1) ++L;
    for(int i=0;i<len;i++) turn[i]=turn[i>>1]>>1|(i&1)<<L,A[i]=B[i]=0;
    for(int i=0;i<len>>1;i++) A[i]=a[i],B[i]=b[i];
    NTT(A,len,1),NTT(B,len,1);
    for(int i=0;i<len;i++) A[i]=mul(A[i],B[i]);
    NTT(A,len,0);
    for(int i=0;i<len;i++) a[i]=A[i];
}
void polyinv(int *a,int n)
{
    int len=2,cur=0;
    b[cur][0]=qp(a[0],mod-2);
    while(len<=(n<<2))
    {
        cur^=1;
        for(int i=0;i<len>>1;i++) b[cur][i]=add(b[cur^1][i],b[cur^1][i]);
        polymul(b[cur^1],b[cur^1],len);
        polymul(b[cur^1],a,len);
        for(int i=0;i<len;i++) b[cur][i]=add(b[cur][i],mod-b[cur^1][i]);
        len<<=1;
    }
    for(int i=0;i<n;i++) a[i]=b[cur][i];
}
void polysqrt(int *a,int n)
{
    int len=2,cur=0;
    sq[cur][0]=1;
    while(len<=(n<<2))
    {
        cur^=1;
        for(int i=0;i<len>>1;i++) sq[cur][i]=mul(sq[cur^1][i],i2);
        for(int i=0;i<len>>1;i++) sq[cur^1][i]=add(sq[cur^1][i],sq[cur^1][i]);
        polyinv(sq[cur^1],len);
        polymul(sq[cur^1],a,len);
        for(int i=0;i<len;i++) sq[cur][i]=add(sq[cur][i],sq[cur^1][i]);
        len<<=1;
    }
    for(int i=0;i<n;i++) a[i]=sq[cur][i];
}
int main()
{
    int n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) C[read()]=1;
    ++m;C[0]=1;
    for(int i=1;i<m;i++) C[i]=(mod-(C[i]<<2))%mod;
    polysqrt(C,m);
    C[0]=add(C[0],1);
    polyinv(C,m);
    for(int i=0;i<m;i++) C[i]=add(C[i],C[i]);
    for(int i=1;i<m;i++) printf("%d\n",C[i]);
    return 0;
}

2018.12.17

【CF438E】小朋友和二叉樹解題報告